§3.2 立体几何中的向量方法知识点一 用向量方法判定线面位置关系 (1)设 a、b 分别是 l1、l2的方向向量，判断 l1、l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量，判断 α、β 的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设 u 是平面 α 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，判断直线 l 与 α 的位置关系．①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解 (1)① a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.② a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)① u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.② u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.(3)① u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α.② u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.知识点二 利用向量方法证明平行问题 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M、N 分别是 C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面 A1BD.证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得M (0,1，)，N (,1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是 =（，0，），设平面 A1BD 的法向量是n=（x，y，z）. n＝(x，y，z)．则 n·＝0，得取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又 ·n＝ (,0，)·(1，－1，－1)＝0，方法二 = ∴∥，又 MN⊄平面 A1BD.∴MN∥平面 A1BD.知识点三 利用向量方法证明垂直问题 在正棱锥 P—ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.(1)求证：平面 GEF⊥平面 PBC；(2)求证：EG 是 PG 与 BC 的公垂线段．证明 (1)方法一 如图所示，以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系．令 PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．于是＝(3,0,0)，＝(3,0,0)，故 ＝3，∴PA∥FG.而 PA⊥平面 PBC，∴FG⊥平面 PBC，又 FG⊂平面 EFG，∴平面 EFG⊥平面 PBC.方法二 同方...
