1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一 四种命题的写法及真假判断【例 1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1)若 m，n 都是奇数，则 m＋n 是奇数；(2)若 x＋y＝5，则 x＝3 且 y＝2.【解析】(1)逆命题：若 m＋n 是奇数，则 m，n 都是奇数，假命题；否命题：若 m，n 不都是奇数，则 m＋n 不是奇数，假命题；逆否命题：若 m＋n 不是奇数，则 m，n 不都是奇数，假命题.(2)逆命题：若 x＝3 且 y＝2，则 x＋y＝5，真命题；否命题：若 x＋y≠5，则 x≠3 或 y≠2，真命题；逆否命题：若 x≠3 或 y≠2，则 x＋y≠5，假命题.【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.【变式训练 1】已知命题“若 p，则 q”为真，则下列命题中一定为真的是( )A.若 p，则 q B.若 q，则 pC.若 q，则 p D.若 q，则 p【解析】选 B.题型二 充分必要条件探究【例 2】设 m＞0，且为常数，已知条件 p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，若 p 是 q 的必要非充分条件，求实数 m 的取值范围.【解析】设集合 A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|＜x＜或－＜x＜－}.由题设有： q⇒ p 且 p 不能推出 q，所以 p⇒q 且 q 不能推出 p，所以 A⊆B.因为 m＞0，所以(2－m，2＋m)⊆(，)，故由 2＋m≤且 2－m≥⇒0＜m≤－2，故实数 m 的取值范围为(0，－2].【点拨】正确化简条件 p 和 q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练 2】已知集合 A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2 或 x≥4}，则 A∩B＝∅的充要条件是( )A.0≤a≤2 B.－2＜a＜2C.0＜a≤2D.0＜a＜2【解析】选 A.因为 A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2 或 x≥4}，且 A∩B＝∅，所以如图，由画出的数轴可知，即 0≤a≤2.题型三 充分必要条件的证明【例 3】设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意 n∈N*且 n≥2，都有＋＋…＋＝成立的充要条件是{an}为等差数列.1【证明】(1)(充分性)若{an}为等差数列，设其公差为 d，则＋＋…＋＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－)＝＝.(2)(必要性)若＋＋…＋＝，则＋＋…＋＋＝，两式相减得＝－ ⇒a1＝n...
