第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{ x | x ≥0} { x | x ≠0} 值域R{ y | y ≥0} R{ y | y ≥0} { y | y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增( －∞， 0] 减 (0 ，＋∞ ) 增 增增( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) 减 公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠0) ；(2)顶点式：f(x)＝a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠0) ；(3)零点式：f(x)＝a ( x － x 1)( x － x 2)( a ≠0) ． 3．二次函数的图象和性质a>0a<0图象图象特点① 对称轴：x＝－； ②顶点：性质定义域x∈R值域y∈＋∞y∈奇偶性b＝0 时为偶函数，b≠0 时既非奇函数也非偶函数单调性x∈－∞，时递减，x∈－，＋∞时递增x∈时递增，x∈时递减[小题能否全取]1．若 f(x)既是幂函数又是二次函数，则 f(x)可以是( )A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝5x2C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝x2解析：选 D 形如 f(x)＝xα的函数是幂函数，其中 α 是常数．2．(教材习题改编)设 α∈，则使函数 y＝xα的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为( )A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3解析：选 A 在函数 y＝x－1，y＝x，y＝x，y＝x3中，只有函数 y＝x 和 y＝x3的定义域是 R，且是奇函数，故 α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是( )A. B.C. D.解析：选 C 由题意知即得 a>.4．(教材习题改编)已知点 M 在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，则 3＝α，得 α＝－2.故 y＝x－2.答案：y＝x－25．如果函数 f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线 x＝1 对称，则函数f(x)的最小值为________．解析：由题意知得则 f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.答案：5 1.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0 恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0，a...
