第六章 数 列第 1 讲 数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的通项公式(1)定义：如果数列{an}的第 n 项 an与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式，记为 an＝f(n)(n∈N*)．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．(2)数列的递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N＋递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数 M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如 1，－1,1，－1，…3.数列前 n 项和 Sn与通项 an的基本关系已知 Sn，则 an＝在数列{an}中，若 an最大，则若 an最小，则【助学·微博】 一个考情分析数列的通项公式及前 n 项和是高考考查的重点及热点，常以填空的形式考查数列的通项公式．而前 n 项和 Sn与通项 an相结合的题目，往往以解答题形式出现．题型比较全面，难度以中档题为主，重点考查学生的运算能力及抽象概括能力．由递推式求通项 an的三种方法(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法；(2)＝f(n)型，采用叠乘法；(3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．考点自测1．(教材改编题)已知数列{an}的前 4 项为 1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为________．解析 1,3,7,15 分别都加上一个 1，则为 2,4,8,16，∴通项公式不难发现为 an＝2n－1.答案 an＝2n－12．下列对数列的理解有四种：① 数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；② 数列的项数是有限的；③ 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④ 数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的所有序号是________．解析 由数列与函数的关系知①对，③对，由数列的分类知②不对，数列的通项公式不是唯一的，④不对．答案 ①③3．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则 a100＝________.解析 法一 由 a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得 a100＝－1.法二 an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－...
