第七章 不等式第 1 讲 一元二次不等式及其解法考点梳理1．一元二次不等式的求解步骤(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根 x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或 x＜x1}Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{ x | x 1＜ x ＜ x 2}∅∅【助学·微博】 一个命题解读一元二次不等式、分式不等式及其他不等式的解法是高考考查的热点，以填空的形式出现在高考中．而不等式的解法与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等相结合的问题，则以解答题形式呈现．尤其是含参数的不等式及恒成立问题，考查得更多一些．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集，不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行讨论，分类要不重不漏．考点自测1．(2012·南京学情分析)若不等式 x2－2x＋3≤a2－2a－1 在 R 上的解集是∅，则实数 a的取值范围是________．解析 由题意得 a2－2a－1＜x2－2x＋3＝(x－1)2＋2 恒成立，所以 a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.答案 {a|－1＜a＜3}2．(2012·扬州调研)不等式(|x|－1)(x－2)＞0 的解集是________． 解析 若 x≥0，则由得 0≤x＜1 或 x＞2；若 x＜0，则由得－1＜x＜0.综上所述，－1＜x＜1 或 x＞2.答案 (－1,1)∪(2，＋∞)3．若不等式 ax2＋bx－2＜0 的解集为，则 ab＝________.解析 －2，是方程 ax2＋bx－2＝0 的两根，∴∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.答案 284．(2012·南京模拟)已知 A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x＋a≥0}，A、B 的交集不是空集，则实数 a 的取值范围是________． 解析 若 A，B 的交集是空集时，即 x2＋2x＋a＜0 在 1≤x≤2 上恒成立．令 f(x)＝x2＋2x＋a，因为对称轴为 x＝－1，所以 y＝f(x)在集合 A 上递增，所以 f(2)＜0 即可，所以 a＜－8，所以 A，B 的交集不是空集时，实数 a 的取值范围是[－8，＋∞)...
