第 4 讲 集合的概念与运算本讲内容包括集合及其性质（集合的元素满足确定性、互异性、无序性）；元素与集合、集合与集合的关系（属于、包含、子集、空集、全集）；集合的运算（交、并、补）及容斥原理等。“交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：若，则； 若，则；；；[I[I[I; [I[I[I.容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此类计数公式通称为容斥原理。“容”意指这些子集的并集是原集合，“斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以表示有限集合中元素的个数，参照 Venn 图可以得到如下计数公式: A 类例题 例 1 已知数集，。若，求实数的值。分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性，集合中三个元素有且仅有一个为 1。椐此可求出 ，进而求出 。解 由，得。 由集合中三个元素有且仅有一个为 1，得，。由，得。用心 爱心 专心1ABABC因此，所求实数为或。例 2 集合 的关系是 （ ）（1989 年全国高中联赛）分析 1 通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断。解 1 ，而可取任意整数，得集合表示 4的倍数的集合，即。，设，得。所以，，应选。分析 2 本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法是“若，则”；证明集合相等关系的一般方法是“若 则”。解2 若。设，则。若。设，则。由。所以应选。例 3 已知，。（1）若，求实数 的值；（2）若，求实数 的取值范围。分析 首先应对题中的集合语言进行解读。，意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组的解集。（1）是求实数 的值，使上述方程组有 3 解；（2）是求实数 的取值范围，使上述方程组无解。解 由 （*）。当时，，原方程组无解；当时，，原方程组有两解；当时，，方程（*）有两个不等的实根。由，得方程（*）两根中，一根为正数另一根为 0 时，原方程组有 3 解；方程（*）两根均为负根时，原方程组无解。由，经验算，时，原方程组有 3 解；由，即时，原方程组无解。所以，若，实数 ； 若，实数 的取值范围是或。用心 爱心...
