第 5 讲 子集本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。设 表示任意元素，表示两个集合。若 ，则 ，即集合是集合的子集。规定空集是任何集合的子集。子集是由原集合中的部分元素构成。对于由 个元素组成的集合，它的每一个子集中元素的构成，都是对这 个元素进行选择的结果。由于对每一个元素的选择都有两种可能（选上或不选），因此，对这 个元素共有种不同选择结果，即由 个元素组成的集合共有个不同子集。其中，不同的非空子集有个，不同的真子集有个。 A 类例题 例 1 求集合的子集的个数。分析 欲求集合的子集的个数，可先求出集合的元素的个数。解 由，得。当时， 原方程的解集为空集；当时， 原方程的解集为单元素集；当时， 原方程有两个不等的实数解。所以，当时，集合，有 1 个子集；当时，集合，有 2 个子集；当时，集合，有 4 个子集‘例 2 求满足的集合的个数。 分析 本题要求的是集合中，必定含有元素的子集的个数，只要求出集合的子集数。解 由集合的子集数为，得所求集合的个数为 8。例 3 已知集合，对，定义为中所有元素之和。求全体的总和 。分析 要求出全体的总和 ，只要求出每个元素出现的次数。解 由集合元素的互异性，得集合中某个元素在总合 中出现的次数，就是集合中含有该元素的子集数。所以，全体的总和。 情景再现1．设集合，。求集合的子集的个数。2．若数集，则 的值是_____。（1998 年第九届“希望杯”高一）3．设非空集合，且当时，必有，问：这样的共有多少个？用心 爱心 专心1 B 类例题 例 4 在某次竞选中，各个政党共作出种不同的诺言，任何两个政党都至少有一种公共诺言，但没有两党作出完全相同的诺言。试证明，政党的数目不多于个。 （1972 年加拿大数学竞赛）分析 这是一道有实际背景的问题。首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。由题意，将“诺言”作为元素，运用集合进行分析和研究。证明 将种不同的诺言构成集合，则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合的子集。因而政党数应不大于集合的子集数。又任何两个政党都至少有一种公共诺言，所以任何两个政党所对应的子集不可能是一对互补的子集。故政党数。例 5 证明：任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序，使得任何两个相邻的子集仅相差一个元素。 （1972 年波兰数学奥林匹克）分析 本题可采用构造方法进行证明，即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方法，满足题设的...
