【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第12讲 计数基本原理：分步与分类教案

第 12 讲 分步与分类加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理．加法原理 如果做一件事，完成它有 m 类不同的方法，在第 l 类方法中有 n1种不同的方法，在第 2 类方法中有以 n2种不同的方法，……，在第 m 类方法中有 nm种不同的方法，那么完成这件事共有 n1+n2…+nm种不同的方法．乘法原理 如果做一件事，完成它需要 m 个步骤，完成第 1 步有 n1种不同的方法，完成第2 步有 n2种不同的方法，……，完成第 m 步有 nm种不同的方法，那么完成这件事共有 n1n2…nm种不同的方法．下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．A 类例题 例 1（1998 年全国高考题）3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每校分配1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法有 （ ）A.90 种 B.180 种 C.270 种 D.540 种分析 本题要将所有医生和护士分配到各所学校，可以分两步进行，即先分配医生，再分配护士。在分配过程中，又要分配到每一所学校。故依据乘法原理计算。解 将医生分配到 3 所学校，每校 1 人，有种方法，再分配护士，第一所学校有种方法；第二所学校有种方法，第三所学校有种方法，所以由乘法原理共有=540 种方法。故应选 D。说明 运用乘法原理解题要注意步与步的独立性，即某一步的任何一种完成方式不会影响其它步的方法总数。例 2（1999 年全国高考题）在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植 1 垄，为了有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，在不同的选垄方法共有_____种。分析由于 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，即间隔不定，因此，我们需要按分类来做。解⑴间隔 8 垄时，有种；⑵间隔 7 垄时，有 2种；⑶间隔 6 垄时，有 3种。所以共有（1+2+3）=12 种选垄的方法。说明 运用加法原理解题要注意分类时不重不漏。例 3 由数字 0，1，3，5，7 中取出不同的三个数字作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)?其中有实根的方程有多少个？ 分析 一元二次方程有实根需满足，所以有实根的方程个数对应于满足的（a,b,c）个数，分类的标准是 b 的不同取值。 解 x 的系数 a≠0,a 有 4 种取法；对于每一种 a 的取法，b,c 可以从余下的 4 个数字中任何两个排列，有 A 种方法，共可组成一元二次方程 4A =48 个。又要方程要有实根，...