第三章 数系的扩充与复数的引入章末总结知识点一 复数的基本概念复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．例 1 设复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数 m 的取值，使(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．知识点二 复数的四则运算1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，1而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意 i2＝－1.2．在高考中，本章考查的热点是复数的运算，尤其是复数的乘除运算，其中渗透着复数的模，共轭复数等概念，熟练掌握运算法则，熟悉常见的结果是迅速求解的关键，一般以选择题、填空题的形式考查．例 2 已知＝2＋i，则复数 z 等于( )A．－1＋3i B．1－3iC．3＋i D．3－i例 3 已知复数 z 与(z＋2)2－8i 均是纯虚数，求复数 z.知识点三 复数问题实数化复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设 z＝x＋yi (x，y∈R)，依据是复数相等的充要条件．例 4 设存在复数 z 同时满足下列条件：(1)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z·＋2iz＝8＋ai (a∈R)．求 a 的取值范围．知识点四 复数的几何意义1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数2的运算的几何意义．复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法．2．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点 Z 与 Z1之间的距离．例 5 在复平面内，向量AB对应的复数是 2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i例 6 已知 a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i 所对应的点在第几象限？复数 z 对应的点的轨迹是什么？答案重点解读例 1 解 (1)由得 m＝3.∴当 m＝3 时，z 是纯虚数．(2)由得 m＝－1 或 m＝－2.∴当 m＝－1 或 m＝－2 时，z 是实数．(3)由得－1
