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【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第16讲圆中比例线段、根轴教案

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第 16 讲 圆中比例线段、根轴本节主要介绍圆幂定理及其应用,介绍根轴的有关知识.圆幂定理是指相交弦定理、切割线定理及割线定理,它们揭示了与圆有关的线段的比例关系,是平面几何中研究有关圆的性质的一组很重要的定理,应用及其广泛.圆幂定理通常可以通过相似三角形得到,因此研究圆中的比例线段,一般离不开相似三角形. 相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.上述三个定理统称为圆幂定理,它们的发现距今已有两千多年的历史,它们有下面的同一形式:圆幂定理 过一定点作两条直线与圆相交,则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等,即它们的积为定值.这里切线可以看作割线的特殊情形,切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为 d,圆半径为 r,则这个定值为|d2-r2|.当定点在圆内时,d2-r2<0,|d2-r2|等于过定点的最小弦的一半的平方;当定点在圆上时,d2-r2=0;当定点在圆外时,d2-r2>0,d2-r2等于从定点向圆所引切线长的平方.特别地,我们把 d2-r2称为定点对于圆的幂.一般地我们有如下结论:到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线;如果此二圆相交,那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线.这条直线称为两圆的“根轴”.对于根轴我们有如下结论:三个圆两两的根轴如果不互相平行,那么它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点.A 类例题 例 1 试证明圆幂定理. 分析 涉及到圆中线段,我们可以运用垂径定理进行证明.证明 如图,当点 P 在圆内时,过点 O 作 OQ⊥AB 于 Q,连结 OP、OB,则 QA=QB.于是PA·PB=( PQ+QA)·(QB-PQ)=QB2-PQ2=(OB2-OQ2)-(OP2-OQ2)=OB2-OP2= r2-d 2=|d2-r2|.当点 P 在圆上和圆外时,同理可得 PA·PB=|d2-r2|.说明 关于圆幂定理的证明方法很多,同学们可以自己再思考几种证明方法.用心 爱心 专心1QOBAPQBOAP例 2 利用圆幂定理证明在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;每一直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项.分析 本题可以用相似三角形来证明,但本题要求用圆幂定理,显然要有圆,可以考虑三角形的外接圆,...

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