第 19 讲 平几中的几个重要定理（二）上节我们研究了平面几何中的 Ptolemy、Ceva、Menelaus 等定理，本节将主要研究 Euler线、Simson 线、Fermat 点等定理及应用．定理 5（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．定 理 6 (Simson line) P 是 ΔABC 的 外 接 圆 ⊙ O 上 的 任 意 一 点，PX⊥AB，PY⊥BC，PZ⊥CA，垂足为 X、Y、Z，求证： X、Y、Z 三点共线．定理 7 (Fermat point)分别以 ΔABC 的三边 AB，BC，CA 为边向形外作正三角形ABD，BCE，CAH，则此三个三角形的外接圆交于一点．此点即为三角形的 Fermat point．A 类 例 题例 1 证明定理 5（Euler line）．已知：ΔABC 的外心，重心，垂心分别为 O， G，H，求证：O，G，H 三点共线，并且 GH=2GO．分析 若定理成立，则由 AG=2GM，知应有 AH=2OM，故应从证明 AH=2OM 入手．证明：如图，作直径 BK，取 BC 中点 M，连 OM、CK、AK，则KCB=KAB=90，从而KC∥AH，KA∥CH，□CKAH，AH=CK=2MO．由 OM∥AH，且 AH=2OM，设中线 AM 与 OH 交于点 G，则⊿GOM∽⊿GHA，故得MG∶GA=1∶2，从而 G 为⊿ABC 的重心．且 GH=2GO．说明 若延长 AD 交外接圆于 N，则有 DH=DN．这一结论也常有用．例 2 证明定理 6 (Simson line) ．已知：P 是 ΔABC 的外接圆⊙O 上的任意一点，PX⊥AB，PY⊥BC，PZ⊥CA，垂足为 X、Y、Z，求证： X、Y、Z 三点共线．分析 如果连 ZX、ZY，能证得1=3，则由AZB=180得YZX=180，即可证此三点共线．证明 PXB=PZB=90P、Z、X、B 四点共圆1=2．PZA=PYA=90P、Z、A、Y 四点共圆3=4．但2+5=90，4+6=90，而由 P、A、C、B 四点共圆，得5=6．故2=4，从而1=3．故 X、Y、Z 共线．说明 本题的证法也是证三点共线的重要方法． 链接 本题的逆命题成立，该逆命题的证明曾是江苏省高中数学竞赛的试题，请读者自己思考如何证明．例 3 证明定理 7(Fermat point)．若分别以 ΔABC 的三边 AB，BC，CA 为边向形外作正三角形 ABD，BCE，CAH，则此三个三角形的外接圆交于一点．此点即为三角形的 Fermat point．分析 证三圆共点，可先取二圆的交点，再证第三圆过此点．证明：如图，设⊙ABD 与⊙ACH 交于(异于点 A 的)点 F，则由 A、F、B、D 共圆得A...
