第 21 讲 三角函数的定义、图像与性质本专题涉及到任意角的三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式；三角函数的图像及其变换和三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质，三角函数的定义是三角函数系列知识的源头．A 类例题 例１ 角的终边分别是和，过点，且，和关于直线对称，则角的集合是( )Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．(2001 年第 12 届“希望杯”全国数学邀请赛)分析 根据角的终边所在的象限确定选项．解 由知位于第二象限，从而点关于直线的对称点在第四象限，即角是第四象限角．故选()．例 2 若是周期为的奇函数，则可以是( )Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．(1999 年全国高考卷)分析 采用分析验证和用定义求解的方法．解法一(分析验证) 因为是奇函数且不恒为零，所以必须是偶函数，由此排除项，进而验证知选项满足题意．故选()．解法二(定义求解) 依题意函数满足，由的任意性得，所以，即函数是周期为的偶函数，只能选说明 作为选择题解法一直接简明，而解法二揭示了问题的本质，在此基础上可以构造出无数个满足题意的．例３ 示波器荧屏上有一正弦波，一个最高点在，与相邻的最低点，用心 爱心 专心1则这个正弦波对应的函数是 ．(2003 年第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛)分析 设出其解析式，利用正弦函数图像的性质求解．解 设，由正弦函数图像的性质可得振幅，周期，频率，，将坐标代入，得初相，故所求表达式为．说明 在本题中函数的表达式不唯一．情景再现1．方程在区间上解的个数是( ) ２． 当，求函数的最大值和最小值．３．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是__________．B 类例题 例４ 方程的实根有多少个?分析 仅仅判断根的个数，基本方法是利用函数的图像数形结合求解．解 原方程实根的个数即为两个函数和图像的交点的个数．由于，所以只需考虑．(1)当时，由于函数的最小正周期是，所以在其范围内函数的图像出现两次，在轴下方有四个交点;(2)当时，其范围的长度是周期的倍，由于时所以有个交点;(3) 时两个函数也有一个交点．综上所述原方程共有个实根．说明 利用函数的图像来确定某些特殊的非常规方程的实根个数是一条十分重要的途径．在“数形结合”时，特别强调“以数定形”，如方程的解只有一个（当时，）．例５ 在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周用心 爱心 专心2期 长 的 区 间 上 的 图 像 与 函 数的 图 像 所 围 成 的 封...
