第 7 讲 角度与距离本节内容主要是关于空间中各种角与距离的定义与求法以及向量在相关计算中的应用．向量方法一般用于求角度，如线线所成角，线面所成角，面面所成角，有时也可以用来求点到平面距离和异面直线之间的距离．A 类例题正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，则直线 A1C1与直线 BD1的距离是_______（2001 年全国高中数学联赛）D1C1A1DBACB1分析：求异面直线的距离有很多种思路，可以从定义出发找出公垂线段，求出其长度，也可以过一条直线作另一条直线的平行线，求出线面距离，即为异面直线的距离，等等．解：连接 B1D1，交 A1C1于 O，易证 A1C1⊥平面 BB1D1，过 O 作 BD1的垂线，垂足为 H，则 OH 为直线 A1C1与直线 BD1的公垂线段．把 Rt△BB1D1的平面图画出来，HOB1D1B易得 OH＝．A，B，C，D 四点不共面，且两两间的距离均为 1，点 P 与点 Q 分别在线段 AB 与 CD 上运动，则 P 与Q 间的最小距离为__________．（2001 年第 12 届希望杯）解 A，B，C，D 构成正四面体，求 P 与 Q 间的最小距离即求 AB 与 CD 间的距离，如图．用心 爱心 专心1FEABCD取 AB，CD 的中点 E，F，则 AF⊥CD，BF⊥CD，∴CD⊥平面 ABF．∴EF⊥CD．又 EF⊥AB，∴EF 为AB，CD 间的距离． AE＝BE＝，AF＝1，∴EF＝＝．△ABC 的顶点 B 在平面 α 内，A、C 在 α 的同一侧，AB、BC 与 α 所成的角分别是 30°和 45°，若 AB＝3，BC＝4，AC＝5，则 AC 与 α 所成的角为（ ）A． 60° B．45° C．30° D．15°（2005 年高考·吉林、黑龙江、广西卷）分析：利用三角形表达出 AC 与 α 所成的角．αBCADEF作 AD⊥α 于 D，CE⊥α 于 E，则 AD∥CE，作 AF⊥CE 于 F．由∠ABD＝30°，∠CBE＝45°，AB＝3，CB＝4，易知 AD＝，CE＝4．由 CE⊥DE 得 AF∥DE．故 CF＝4－＝，故 sin∠CAF＝．故 AC 与 α 所成的角为 30°．答案：C情景再现用心 爱心 专心2已知平面 α⊥β，α∩β＝l，P 是空间一点，且 P 到 α、β 的距离分别是 1、2，则点 P 到的距离为 ．（2004 年高考·浙江·文）如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是A．arccosB．C．arccosD．（2005 年高考·福建）如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，E 是 A1B1的中点，则 E 到平面 AB C1...
