第 8 讲 截面、面积与体积本节内容主要有截面，会作截面及侧面展开图，欧拉公式，正多面体、柱、锥、台的面积与体积的求法以及用体积法求长度．A 类例题 求证：平面截正方体所得的截面三角形不可能为直角三角形．解：△PQR 中 PQ2＋PR2＝2PB2＋BR2＋BQ2＝2PB2＋QR2＞QR2，故∠QPR 为锐角，同理∠PQR，∠QRP 也是锐角，故△PQR 不可能是直角三角形．一间平房的屋顶有如图的三种盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法的屋顶面积分别为 P1 、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（ ）A．P1＜P2＜P3 B．P1＝P2＜P3 C．P1＜P2＝P3 D．P1＝P2＝P3（2001 年高考）解：由于侧面投影的面积是侧面积的，而三个图中的底面积相同，故侧面积相同．答案：D情景再现一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．（2000 年高考·天津卷）已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）A．120°B．150°C．180°D．240°正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A．B．C．2πa2D．3πa2（1995 年高考·全国）B 类例题 用心 爱心 专心1 ① ③ ② BCDB1D1C1A1APRQABABABAB有三个 12㎝12㎝的正方形，连接相邻两边的中点把正方形分割成 A、B 两块，再把它们粘在一个正六边形上，叠成一个多面体．这个多面体的体积是多少？解一：所得多面体可提成是由一个正三棱锥再截去三个角得出．据已知得，正六边形底面的边长 AB=6，大正三棱锥的底面边长 XY=18．边心距 OS=3．斜高=ST=12=9．高 PH==6． 体积=(18)26=972．截去的三个小三棱锥的底面是正三角形，边长 XA=XF=AF=6．侧棱 KF=KA=6，PX===18，KX=18－12=6．于是小三棱锥也是正三棱锥．其体积=972()3．3 个小正三棱锥体积和=972()33=108．∴ 所求体积=972－108=864㎝3．解二：反过来看，PX、PY、PZ 两两垂直，知PXY 为等腰直角三角形．于是由 AB=6，得 XY=18．从而 PX=18．其体积 VPXYZ=183=972．又 KA、KF、KX 也两两垂直．从而 VKAFX=()3VPXYZ=36．于是可得所求体积=972－363=864．如图所示四面体 ABCD 中，AB、BC、BD 两两互相垂直，且 AB＝BC＝2，E 是 AC 中点，异面直线 AD 与 BE 所成的角的大小为 arccos，求四面体 ABCD 的体积．（2000 年上海高考）解 ： 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 令A（...
