第 9 讲 四面体与球本节内容主要是四面体和球的性质与计算，球与多面体的关系，四面体的外接球与内切球等．A 类例题 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）A．20πB．25πC．50πD．200π（1997 年理）分析：首先求出球的半径．解：易知球的中心为长方体的中心，长方体的对角为线球的直径，故 R＝＝，∴S＝4πR2＝50π．答案：C一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（ ）（A）8π（B）8π（C）4π（D）4π（2005 年·河南河北山西安徽卷）解：截面圆面积为，∴截面圆半径，∴球的半径为 R＝＝，∴球的表面积为．答案：B球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这 3 个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）A．4B．2C．2D．（1998 年理）分析：要弄清楚大圆半径与小圆半径的关系．解：设 O 为大圆圆心，A，B，C 为满足条件的三个点．由任意两点的球面距离都等于大圆周长的知∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°．∴△AOB，△BOC，△COA 都是正三角形．由⊙H 周长为 4π 知⊙H的半径为 2，∴AB＝2．∴球的半径为 2．答案：B情景再现木星的体积约是地球体积的 240 倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）A．60 倍B．60倍C．120 倍D．120倍用心 爱心 专心1HAOBC正方体的全面积是 a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A．B．C．2πa2D．3πa2（1995 年全国理）一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，则该球的体积是（ ）A． B．C．D．（2004 年高考·江苏卷）矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B－AC－D，则四面体 ABCD 的外接球的体积为（ ）A．πB．πC．πD．πB 类例题 如图，A、B、C 是表面积为 48π 的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是（ ）A．arcsinB．arccosC．arcsinD．arccos（2004 年高考·福建卷）分析：首先要求出球及截面圆的半径，然后分析 O 在截面 ABC 的射影O′的位置．解：由 AB=2，BC=4，∠ABC=60°知∠BAC＝90°，∴BC 为截面圆的直径，∴O 在截面 ABC 的射影 O′为 BC 中点，截面圆半径 r＝2．又球的表面积为 48π，∴R＝2．在等腰三角形△OBC 中 O 到 BC 距离为 2，∴sin∠OAO′＝＝，即∠OAO′＝arc...
