大学数学-高等数学竞赛试题

高等数学竞赛试题汇合一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设函数，，且当时，与为等价无穷小，则 。2．设函数在点处取得微小值，则______。3．_____ 。 4. 设函数由方程所确定, 则曲线在点处的法线方程为______二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。）1．设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。2．设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）（A）若只有一个零点，则必至少有两个零点；（B）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；（C）若没有零点，则至少有一个零点；（D）若没有零点，则至多有一个零点。3．设函数在区间内具有二阶导数，满足，，又，则当时恒有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。4．设则（ B ） (A) ；（B）；（C）；（D）5．设平面位于平面与平面之间，且将此两平面的距离分为 1：3，则平面的一个方程为 （ ） A． B. C. D. 三、（本题 6 分）已知曲线与曲线在点处具有相同的切线，写出该切线方程，并求极限。四、（本题 10 分）设函数试讨论在处的连续性和可导性。五、设，求。（本题 10 分） 六、（本题 8 分）计算不定积分七、（本题 8 分）已知具有二阶连续导数，，且 求八、（本题 10 分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形.(1)求的面积；(2)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.九、（本题 8 分）计算十、（本题 10 分）设是可导函数，且，证明：存在，使证明：取辅助函数为, 则在区间上连续且可导，显然故由罗尔中值定理，存在，使得，再由，知，因此，结论成立。一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1． 3 。2． 。3． 。 4. 二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。）1．（ A ）2．（ D ）3． (B)4．（ B ）5．（ D ）三、（本题 6 分）2四、(1) 在连续。(2) 在可导。五、设，求。（本题 10 分）六、七、 八、（1）面积；(2)体积九、十、证明：高等数学竞赛试题 3 答案一、选择题1.设，且，则（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.设是连续函数，的原函数，则（ A ）(A) 当为奇函数时,必为偶函数；(B) 当为偶函数时,必为奇函数；(C) 当为周期函数时,必为周期函数；(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.3.设，在内恒有，记...