8.8 立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角、距离一、选择题1．如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N是 A1B1上的动点，则直线 NO、AM 的位置关系是( )．A．平行 B．相交C．异面垂直 D．异面不垂直解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为 2，则 A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，NO＝(－1,1－t，－2)，AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线 NO、AM 的位置关系是异面垂直．答案 C2．正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在 AC1上且AM＝MC1，N 为 B1B 的中点，则|MN|为( )．A.a B.a C.a D.a解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设 M(x，y，z)， 点 M 在 AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得 M，∴|MN|＝ ＝a.答案 A3．在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为棱 AA1和 BB1的中点，则 sin〈CM，D1N〉的值为( )．A. B. C. D.解析 设正方体的棱长为 2，以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝，答案 B4．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A. B. C. D．3解析 两平面的一个单位法向量 n0＝，故两平面间的距离 d＝|OA·n0|＝.答案 B5．已知直二面角 αlβ，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点 B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 CD＝( )．A．2 B. C. D．1解析 如图，建立直角坐标系 Dxyz，由已知条件 B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由 AB＝2 解得 t＝.答案 C6．正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 BB1中点，G 是 DD1中点，F 是 BC 上一点且 FB＝BC，则GB 与 EF 所成的角为( )．A．30° B．120° C．60° D．90°解析 如图建立直角坐标系 Dxyz，设 DA＝1，由已知条件G，B，E，F，GB＝，EF＝cos〈GB，EF〉＝＝0，则GB⊥EF.答案 D7．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角 B1－DC－C1的大小为 60°，则 AD 的长为( )A. B.C．2 D.解析 如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则...
