【步步高】（四川专用）2014届高三数学大一轮复习讲义 5.2平面向量基本定理及坐标表示 理 新人教A版VIP专享

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示2014 高考会这样考 1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．复习备考要这样做 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算．1． 平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2． 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．② 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.3． 平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .[难点正本 疑点清源]1． 基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2． 向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 a＝OA＝(x，y)．当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA＝(x，y)，但O1A1的起点 O1和终点A1的坐标都发生了变化．1． 在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ ，μ∈R，则 λ＋μ＝________.答案 解析 因为AC＝AB＋AD，又AE＝AD＋AB，AF＝AB＋AD，所以AC＝λAE＋μAF＝AD＋AB，得到 λ＋μ＝1，λ＋μ＝1，两式相加得 λ＋μ＝.12． 在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 AB＋BC＝AC，∴BC＝AC－AB＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)．3． 已知向量 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若 ka＋b 与 b 平行，则 k＝________.答案 0解析 由 ka＋b 与 b 平行得－3(2k＋2)＝2(k－3)，∴k＝0.4． 若向量 a＝(1,1)，b...