§9.6 双曲线2014 高考会这样考 1.考查双曲线的定义、标准方程和几何性质；2.考查直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想的应用．复习备考要这样做 1.熟练掌握双曲线的定义和标准方程，理解双曲线的基本量对图形、性质的影响；2.理解数形结合思想，掌握解决直线与双曲线问题的通法．1． 双曲线的概念平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a (2a<2c)，则点 P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a、c 为常数且 a>0，c>0：(1)当 a < c 时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当 a > c 时，P 点不存在．2． 双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1 (a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a 或 y≥a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1( － a, 0) ， A 2( a, 0) A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中 c＝实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2 a ；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2 b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)[难点正本 疑点清源]1． 双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中 2a<|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值．(2)2a<|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同．12． 渐近线与离心率－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．1． (2012·天津)已知双曲线 C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线 C2：－＝1 有相同的渐近线，且 C1的右焦点为 F(，0)，则 a＝________，b＝________.答案 1 2解析 与双曲线－＝1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知 c＝，则 4λ＋16λ＝5⇒λ＝，则 a2＝1，b2＝4.又 a>0，b>0，故 a＝1，b＝2.2． (2012·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线－＝1 的离心率为，则 m 的值为________．答案 2解析 c2＝m＋m2＋4，∴e2＝＝＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.3． (2012·辽宁)已知双曲线 x2－y2＝1，点 F1，F2为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为_______...
