12.5 数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学归纳法是证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当 n 取______时命题成立.(2)(归纳递推)假设 n=k(k≥k0,k∈N*)时命题成立,证明当______时命题也成立.2.应用数学归纳法时特别注意:(1)数学归纳法证明的对象是与______有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.1.用数学归纳法证明 3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步应验证( ).A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=42.用数学归纳法证明 1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的过程中,在验证 n=1 时,左端计算所得的项为( ).A.1 B.1+2C.1+2+22 D.1+2+22+233.已知 f(n)=+++…+,则( ).A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)=+B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)=++C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)=+D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)=++4.用数学归纳法证明:“1+++…+<n(n>1)”,由 n=k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是__________.5.已知数列{an}中,a1=,an+1=,则数列的前 5 项为__________,猜想它的通项公式是__________.一、用数学归纳法证明恒等式【例 1】n∈N*,求证:1-+-+…+-=++…+.方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由 n=k 到 n=k+1 的过渡,要设法将待证式与归纳假设建立联系,即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形,把 n=k+1 时的表达式拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.请做演练巩固提升 2二、用数学归纳法证明不等式【例 2】设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+(n=1,2,…).(1)证明:an>对一切正整数 n 都成立;(2)令 bn=(n=1,2,…),判断 bn与 bn+1的大小,并说明理由.方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式.事实上,在合理运用归纳假设后,可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立.请做演练巩固提升 3三、用数学归纳法证明几何问题【例 3】 用数学归纳法证明:凸 n 边形的对角线的条数为 f(n)=n(n-3)(n≥3).方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从 k 个变成 k+1 个...