【志鸿优化设计】（湖南专用）2014届高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.5数学归纳法教学案 理

12.5 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取______时命题成立．(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥k0，k∈N*)时命题成立，证明当______时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)数学归纳法证明的对象是与______有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明 3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步应验证( )．A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝42．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N*)的过程中，在验证 n＝1 时，左端计算所得的项为( )．A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋233．已知 f(n)＝＋＋＋…＋，则( )．A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝＋B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝＋D．f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝＋＋4．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋＜n(n＞1)”，由 n＝k(k＞1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项的项数是__________．5．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则数列的前 5 项为__________，猜想它的通项公式是__________．一、用数学归纳法证明恒等式【例 1】n∈N*，求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由 n＝k 到 n＝k＋1 的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把 n＝k＋1 时的表达式拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明．请做演练巩固提升 2二、用数学归纳法证明不等式【例 2】设数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝an＋(n＝1,2，…)．(1)证明：an＞对一切正整数 n 都成立；(2)令 bn＝(n＝1,2，…)，判断 bn与 bn＋1的大小，并说明理由．方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立．请做演练巩固提升 3三、用数学归纳法证明几何问题【例 3】 用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数为 f(n)＝n(n－3)(n≥3)．方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从 k 个变成 k＋1 个...