利用“小球入盒”模型解排列组合问题（智慧引航 2024 年 3 月刊）江西省宁都县宁师中学 廖东明 342800 jxndldm168@163.com 13870774792“小球入盒”计数问题是排列、组合、概率学习中最常见的一类问题，很多题目都可归为这一模型，然后解答，所以“小球入盒”这一模型对于解题具有一定的指导意义，有必要探析这一模型及应用，下面从以下几个方面对“小球入盒”模型及应用展开探析。模型一 相同小球进入不同的盒子，要求盒子中都有小球【问题 1】8 个相同的小球放入编号为 1，2，3 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？【解析】方法一（枚举法） 由于每个盒子中至少有一个球，所以分堆有种方法．对于每一种分堆方法将三堆球放入标号为的三个盒子中的方法数分别为：“”型种，“”型种，“”型种，“”型种，“”型种．故将个相同的球放入标号为的三个盒子中，每个盒子中至少有一个球，有种不同的放法．方法二 将 8 个小球排成一排，中间有 7 个缝，在这 7 个缝中选出 2 个，放上“隔板”，若记“|”看作隔板，则如图，00|000|000 隔板把一排球分成三组，从左到右可以看成三个盒子放入的球数，即上图中 1，2，3 三个盒子相应放入 2 个，3 个，3 个小球。这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从 7 个缝中选出 2 个缝的组合对应于一种放法，所以不同的放法有种.【模型 1】把个相同的小球放入个不同的盒子中，要求每个盒子非空，有种不同放法。【解析】先将个小球排成一列，然后在它们之间形成的个空档（不含两端的）中插入块隔板，便将个小球分割成组，每组小球至少有 个球，这组小球依次放入个不同的盒子中，块隔板的一种插法就对应了个相同小球投入个不同盒子的一种方法，故不同的放法共有种。这种方法通常称为“隔板原理”，它在解决一类组合应用题时十分有用。隔板法比枚举法简捷。【例 1】从 4 个班中选出 7 位同学组成体育拉拉队，每班至少 1 位同学，则不同的名额分配方案共有 种.【解析】由于个学生名额可以看成个相同的球,个班可以看成个不同的盒子，问题即可转化为:将个相同的球放入个不同的盒子,且不允许有空盒的安排方案. 可以考虑使用隔板法，将个小球排成一行，在它们之间形成的个间隔中选出个空隙插入个挡板即分成个盒子，有种不同的分配方案.【变式训练 1】（1）求不定方程的正整数解（）的组数（2）将个志愿者名额分配给个学校，则每校至少有一...
