专题整合训练专题一 等腰三角形的性质与判定1.(2025·山东滨州中考)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 上一点,且 DA=DC,BD=BA,则∠B 的大小为(B ) A.40°B.36°C.30°D.25°2.如图所示,点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,连接 AD,AE.①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ; (2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).(1)解①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.(2)证明①②⇒③方法一: AB=AC,∴∠B=∠C.又 AD=AE,∴∠ADG=∠AEG. ∠ADG=∠B+∠BAD,∠AEG=∠C+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE.在△ABD 与△ACE 中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,则△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.方法二:过点 A 作△ABC 的高 AG, AB=AC,AG⊥BC,∴BG=CG.又 AD=AE,AG⊥DE,∴DG=EG. BD=BG-DG,CE=CG-GE,∴BD=CE.专题二 等边三角形的性质与判定3.导学号 99804031 如图,在△ABC 中,D 是 AB 边上的一点,且 AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC 是等边三角形.证明 DC=DB,∴∠B=∠DCB=30°(等边对等角).∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又 AD=DC,∴△ADC 是等边三角形(有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形).4.导学号 99804032 如图,△ABC 是等边三角形,∠1=∠2=∠3,求∠BEC 的度数.解 △ABC 是等边三角形,∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. ∠1=∠2=∠3,∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠BCA-∠3,即∠CAF=∠ABD=∠BCE.在△ABD 和△BCE 和△CAF 中,{∠1=∠2=∠3,AB=BC=CA ,∠ ABD=∠BCE=∠CAF ,∴△ABD≌△BCE≌△CAF(ASA).∴AD=BE=CF,BD=CE=AF.∴AD-AF=BE-BD=CF-CE,即 FD=DE=EF.∴△DEF 是等边三角形.∴∠FED=60°.∴∠BEC=180°-∠FED=180°-60°=120°.5.导学号 99804033 如图所示,等边△ABC 和等边△DCE 在直线 BCE 的同一侧,AE 交 CD于点 P,BD 交 AC 于点 Q,求证:△PQC 为等边三角形.证明在等边△ABC 和等边△DCE 中,BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△BCD 和△ACE 中,{BC=AC ,∠BCD=∠ ACE ,CD=CE .所以△BCD≌△ACE(SAS).所以∠1=∠2.因为∠ACB=∠DCE=60°,所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°.所以∠BCQ=∠ACP.在△BCQ 和△ACP 中,{∠1=∠2,BC=AC ,∠BCQ=∠ ACP,所以△BCQ≌△ACP.所以 CQ=CP.又因为∠QCP=60°,所以△PQC 为等边三角形.专题三 直...
