课时达标第46讲双曲线[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形或不等式综合在一起，以选择题或填空题形式出现．一、选择题1．(2018·湖南衡阳八中期中)如果方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(B)A．(∞－，－1)B．(－1∞，＋)C．(1∞，＋)D．(∞－，－1)∪(1∞，＋)解析双曲线的方程是－＝1.根据定义和条件知k＋1>0⇒k>－1.故选B．2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(C)A．B．2C．或2D．或解析根据条件可知m2＝9，∴m＝±3.当m＝3时，e＝＝；当m＝－3时，e＝2.故选C．3．双曲线－2y2＝1的渐近线与圆x2＋(y＋a)2＝1相切，则正实数a的值为(C)A．B．C．D．解析 双曲线－2y2＝1的渐近线方程为y＝±x，圆心为(0，－a)，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得＝1，解得a＝.4．若实数k满足0b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(A)A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析由已知得·＝，所以＝，∴C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.二、填空题7．(2017·北京卷)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝__2__.解析由已知可得a＝1，c＝，所以e＝＝＝，解得m＝2.8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，双曲线C的一个焦点到直线l的距离为1，则双曲线C的方程为__x2－＝1__.解析 双曲线的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为，即＝.①由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得＝1，∴c＝2，即a2＋b2＝4.②联立①②，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线的标准方程为x2－＝1.9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝____.解析由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12.又在△ABC中，有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，从而＝＝.三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．解析(1) 离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，可得λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明： 点M(3，m)在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，∴MF1·MF2＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．11．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．解析(1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，∴＝.又c2＝12＋b2，即b2(12＋b2)＝3b2＋36，∴b2＝3.∴双曲线方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.∴∴由OM＋ON＝tOD，得(16，12)＝(4t,3t)，∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．12．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标...
