高考数学大一轮复习 第五章 数列 课时达标29 等比数列及其前n项和试题VIP免费

课时达标第29讲等比数列及其前n项和[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式、等比中项及其性质以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x＋3,6x＋6…，的第四项等于(A)A．－24B．0C．12D．24解析由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(C)A．B．－C．D．－解析当n＝1时，a1＝S1＝x－，①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝x·(3n－1－3n－2)＝2x·3n－2，因为{an}是等比数列，所以a1＝＝＝，②由①②得x－＝，解得x＝.3．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是(B)A．－2B．－C．±D．解析根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，因为a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0.又a3a7＝a，所以a5＝－＝－.4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(D)A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析∵∴由①除以②可得＝2，解得q＝，代入①得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，∴Sn＝＝4，∴＝＝2n－1.故选D．5．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2…＋＋log3a10＝(B)A．12B．10C．8D．2＋log35解析由题意可知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝a4a7＝9，而log3a1＋log3a2…＋＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为(B)A．16B．8C．2D．4解析由题意知a4>0，a14>0，a4·a14＝8，a7>0，a11>0，则2a7＋a11≥2＝2＝2＝8，当且仅当即a7＝2，a11＝4时取等号，故2a7＋a11的最小值为8.故选B．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是__4__.解析设公比为q，则由a8＝a6＋2a4，得a1q7＝a1q5＋2a1q3，q4－q2－2＝0，解得q2＝2(q2＝－1舍去)，所以a6＝a2q4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝__5__.解析由等比数列的性质可知a1a5＝a2a4＝a，于是由a1a5＝4得a3＝2，故a1a2a3a4a5＝32，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log232＝5.9．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝__32__.解析设等差数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，解得q＝2，a1＝，则a8＝a1q7＝×27＝32.三、解答题10．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由题意，得解得或(舍去)，所以an＝2n.(2)因为bn＝＝，所以Tn…＝＋＋＋＋＋，Tn…＝＋＋＋＋＋，所以Tn…＝＋＋＋＋＋－＝－＝－，故Tn＝－＝－.11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1,2S2,3S3成等差数列，且S4＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：Sn<.解析(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S1,2S2,3S3成等差数列，所以4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，所以a2＝3a3，所以q＝＝.又S4＝，即＝，解得a1＝1，所以an＝n－1.(2)证明：由(1)得Sn＝＝＝.∵n∈N*，∴0