第九章平面解析几何第6课时椭圆(1)考情分析考点新知建立并掌握椭圆的标准方程，运用方程(组)或不等式求椭圆的基本量．①掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.②掌握椭圆的一些基本量.1.设Ρ是椭圆＋上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝________．答案：10解析：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.2.椭圆＋＝1的离心率为________．答案：解析：a＝4，b＝2，c＝＝2，e＝＝.3.(选修11P26习题3改编)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A与椭圆的焦点F1重合，且椭圆的另外一个焦点F2在BC边上，则△ABC的周长是________．答案：4解析：AB＋BC＋CA＝BF1＋(BF2＋CF2)＋CF1＝(BF1＋BF2)＋(CF2＋CF1)＝4a＝4.4.(选修11P31习题4改编)方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________.答案：k＞3解析：方程＋＝1表示椭圆，则k＞3.5.已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是________．答案：＋＝1解析： 2c＝8，∴c＝4，∴e＝＝＝，故a＝8.又 b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的方程为＋＝1.1.椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴_对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)A2a，0B10，－bB20，bA10，－aA20，aB1－b，0B2b，0轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝∈(0，1)a、b、c的关系c2＝a2－b2题型1求椭圆的方程例1设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．解：设该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)，依题意，2a＝2(2b)a＝2b.由于点P(4，1)在椭圆上，所以＋＝1或＋＝1.解得b2＝5或，这样a2＝20或65，故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)两准线间的距离为，焦距为2；(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．解：(1)设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.(2)由题设，2a＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝.又＝b2＝，故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.题型2求椭圆离心率的值例2在平面直角坐标系中，有椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆．过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________．答案：解析：如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OP＝OA，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值(e)的值．由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OP＝OA，所以＝a，解得＝，即e＝.在△ABC中，∠ACB＝60°，sinA∶sinB＝8∶5，则以A、B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．答案：解析：由题意e＝＝＝. sinA∶sinB＝8∶5，∴由正弦定理得a∶b＝8∶5.设a＝8k，b＝5k，∴由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c＝7k，∴e＝＝.题型3求椭圆离心率的取值范围例3椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________．答案：解析：(解法1)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，而|FA|＝－c，|PF|≤a＋c，所以－c≤a＋c，即a2≤ac＋2c2.又e＝，所以2e2＋e≥1，所以2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0
