高考数学总复习第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时 同角三角函数的基本关系式VIP免费

页)考情分析考点新知①会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.②能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．①理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.②理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α].1.(必修4P16例1改编)α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．答案：解析：由解得sinα＝±. α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.2.cos＝________．答案：－解析：cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.3.sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．答案：2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.4.(必修4P21例题4改编)已知cos＝，且－π＜α＜－，则cos＝________．答案：－解析：cos＝cos[－]＝sin.又－π＜α＜－，所以－π＜＋α＜－.所以sin＝－，所以cos＝－.5.(必修4P22习题9(1)改编)已知tanθ＝2，则＝__________．答案：－2解析：＝＝＝＝＝－2.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：tanα＝.2.诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosa余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．[备课札记]题型1同角三角函数的基本关系式例1(必修4P23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；(2)将用tanα表示出来，并求其值．解：(1)(解法1)联立方程由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理，得25sin2α－5sinα－12＝0. α是三角形内角，∴∴tanα＝－.(解法2) sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝. sinαcosα＝－<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0. sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝.由得∴tanα＝－.(2)＝＝. tanα＝－，∴＝＝＝－.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．(1)求＋的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．解：(1)由韦达定理可知而＋＝＋＝sinθ＋cosθ＝.(2)由①两边平方得1＋2sinθcosθ＝，将②代入得m＝.(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，∴或 θ∈(0，2π)，∴θ＝或.例2(必修4P23第10(2)题改编)化简：(－)·(－)．解：原式＝(－)(－)＝(－)(－)＝·＝已知sinα·cosα<0，sinαtanα>0，化简：cos·＋sin·＝________．答案：±sin解析： sinα·cosα<0，∴α为第二或第四象限角．又 sinα·tanα>0，∴α为第四象限角，∴为第二或四象限角．∴原式＝cos·＋sin·＝∴原式＝±sin.题型2利用诱导公式进行化简求值例3已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．解： sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sinα＝－2cosα，且cosα≠0.∴原式＝＝＝＝－.已知cos(π＋α)＝－，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)(n∈Z)．解： cos(π＋α)＝－，∴－cosα＝－，cosα＝.又角α在第四象限，∴sinα＝－＝－.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝.(2)＝＝＝＝－＝－4.1.(2013·广东文)已知sin＝，那么cosα＝________．答案：解析：sin＝sin＝cosα＝.2.已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)＝________．答案：－解析：由条件，知π＝a1＋a5＋a9＝3a5，∴a5＝，∴cos(a2＋a8)＝cos2a5＝cos＝－.3.已知sinα＝，且α∈，则tanα＝________．答案：－解析：因为sinα＝，α∈，所以cosα＝－＝－，从而tanα＝－.4.已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则cos(α－)＝____________．答案：0解析：依题意得＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)．又－＜α＜0，因此α＝－，故cos＝cos＝cos＝0.1.已知0