(四)函数与导数(2)1.(2018·成都模拟)已知f(x)=lnx-ax+1(a∈R).(1)讨论函数的单调性;(2)证明:当a=2,且x≥1时,f(x)≤ex-1-2恒成立.(1)解 f(x)=lnx-ax+1,a∈R,∴f′(x)=-a=,当a≤0时,f(x)的增区间为(0,+∞),无减区间,当a>0时,增区间为,减区间为.(2)证明当x∈[1,+∞)时,由(1)可知当a=2时,f(x)在[1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=-1,再令G(x)=ex-1-2,在x∈[1,+∞)上,G′(x)=ex-1>0,G(x)单调递增,所以G(x)≥G(1)=-1,所以G(x)≥f(x)恒成立,当x=1时取等号,所以原不等式恒成立.2.(2018·合肥模拟)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=λ(x2-1)(λ为常数).(1)若函数y=f(x)与函数y=g(x)在x=1处有相同的切线,求实数λ的值;(2)当x≥1时,f(x)≤g(x),求实数λ的取值范围.解(1)由题意得f′(x)=lnx+1,g′(x)=2λx,又f(1)=g(1)=0,且函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线,∴f′(1)=g′(1),则2λ=1,即λ=.(2)设h(x)=xlnx-λ(x2-1),则h(x)≤0对∀x∈[1,+∞)恒成立. h′(x)=1+lnx-2λx,且h(1)=0,∴h′(1)≤0,即1-2λ≤0,∴λ≥.另一方面,当λ≥时,记φ(x)=h′(x),则φ′(x)=-2λ=.当x∈[1,+∞)时,φ′(x)≤0,∴φ(x)在[1,+∞)内为减函数,∴当x∈[1,+∞)时,φ(x)≤φ(1)=1-2λ≤0,即h′(x)≤0,∴h(x)在[1,+∞)内为减函数,∴当x∈[1,+∞)时,h(x)≤h(1)=0恒成立,符合题意.当λ<时,①若λ≤0,则h′(x)=1+lnx-2λx≥0对∀x∈[1,+∞)恒成立,∴h(x)在[1,+∞)内为增函数,∴当x∈[1,+∞)时,h(x)≥h(1)=0恒成立,不符合题意.②若0<λ<,令φ′(x)>0,则1φ(1)=1-2λ>0,即h′(x)>0,∴h(x)在内为增函数,∴当x∈时,h(x)>h(1)=0,不符合题意,综上所述,λ的取值范围是.3.(2018·山东省名校联盟模拟)已知f(x)=xex+a(x+1)2+.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)当x>-2时,f(x)≥0,求a的取值范围.解(1)f′(x)=(x+1)ex+2a(x+1)=(x+1)(ex+2a),若函数f(x)在x=1处取得极值,则f′(1)=0,所以a=-,经检验,当a=-时,函数f(x)在x=1处取得极值.(2)f′(x)=(x+1)ex+2a(x+1)=(x+1)(ex+2a),①a≥0时,当-2-1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;又f(-1)=0,∴当x>-2时,f(x)≥0成立.②a<0时,令ex+2a=0,得x=ln(-2a),当ln(-2a)>-1,即a<-时,当-2ln(-2a)时,f′(x)>0;当-1-1时,f′(x)>0,∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增,又f(-1)=0,当x∈(-2,-1)时,f(x)<0,不符合题意,舍去;当-2-1时,f′(x)>0,当ln(-2a)-1时,f′(x)>0,当-20时,xex-elnx>x3+x2.(1)解由题意可知,g(x)=f′(x)=x+a-aex,则g′(x)=1-aex,当a≤0时,g′(x)>0,∴g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,当x<-lna时,g′(x)>0,当x>-lna时,g′(x)<0,∴g(x)在(-∞,-lna)上单调递增,在(-lna,+∞)上单调递减,综上,当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无递减区间;当a>0时,g(x)的单调递增区间为(-...