高考数学总复习第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式VIP免费

考情分析考点新知掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．①了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程.②能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用.1.(必修4P98第1题改编)sin75°cos30°－sin15°sin150°＝__________．答案：解析：sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°·sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝.2.(必修4P104习题5改编)已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)＝________．答案：1解析：tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]＝＝＝1.3.(必修4P94习题2(1)改编)若sinα＝，α∈，则cos＝__________．答案：－解析：由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－.4.(必修4P99第10题改编)计算：＝________．答案：解析：原式＝＝＝＝.5.(必修4P115第6题改编)计算：＝________．答案：2－解析：sin7°＝sin(15°－8°)＝sin15°cos8°－cos15°sin8°，cos7°＝cos(15°－8°)＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.1.两角差的余弦公式推导过程2.公式之间的关系及导出过程3.公式cos(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α－β)＝sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβtan(α－β)＝tan(α－β)＝tan(α＋β)＝tan(α＋β)＝4.asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.φ的终边所在象限由a、b的符号来确定.题型1化简求值例1化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________．答案：1解析： tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan30°＝，∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]，于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋×[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.求值：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°.解： tan60°＝tan(20°＋40°)＝＝，∴tan20°＋tan40°＝－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.题型2给值求角例2若sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________．答案：解析：(解法1)依题意有cosα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝×－×＝＞0. α、β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.(解法2) α、β都是锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，∴0＜α，β＜，0＜α＋β＜，∴cosα＝＝，cosβ＝＝，sin(α＋β)＝×＋×＝.∴α＋β＝.已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.解： 0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜.又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.又0＜β＜，∴β＝.题型3给值求值例3已知0＜β＜＜α＜π，cos＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．解： ＜α＜，∴－＜－α＜－，∴－＜－α＜0.又cos＝，∴sin＝－. 0＜β＜，∴＜＋β＜π.又sin＝，∴cos＝－.∴sin(α＋β)＝－cos＝－cos[(＋β)－(－α)]＝－coscos－sin(＋β)·sin＝－×－×＝＋＝.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．解： α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.例4(2013·常州期末)已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．解：(1) α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝. α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求cos(α－β)的值．解： α∈，∴2α∈(0，π...