高考数学总复习第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式VIP免费

考情分析考点新知掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用.1.(必修4P105例1改编)已知sinα＝－，α∈，则sin2α＝__________．答案：－解析： sinα＝－，α∈，∴α∈，cosα＝.∴sin2α＝2sinαcosα＝－.2.(必修4P108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________．答案：－解析： sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－. α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0，∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－＝－.3.(必修4P108习题3.2第3题改编)若sin(＋θ)＝，则cos2θ＝________．答案：－解析： sin＝，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－.4.(必修4P106练习第1(1)题改编)函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．答案：π解析： f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴T＝＝π.5.(必修4P108习题3.2第5(3)题改编)若≤α≤，则＋＝________．答案：－2sin解析： ≤α≤，∴≤≤.∴＋＝＋＝＋＝－－＝－2sin.1.二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝．2.降幂公式sin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝．[备课札记]题型1化简求值例1计算：(tan10°－)·sin40°.解：原式＝·sin40°＝＝＝＝＝－1.计算：sin50°(1＋tan10°)．解：原式＝sin50°＝sin50°·＝2sin50°·＝2sin50°·＝＝＝1.题型2给值求值例2已知α∈，tanα＝，求：(1)tan2α的值；(2)sin的值．解：(1)因为tanα＝，所以tan2α＝＝.(2)因为α∈，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝，cos2α＝.所以sin＝sin2αcos＋cos2αsin＝×＋×＝.已知α＋β＝，则cos2α＋cos2β＋cosαcosβ＝________．答案：解析：原式＝＋＋cosαcosβ＝1＋(cos2α＋cos2β)＋cosαcosβ＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝1－cos(α－β)＋×＋cos(α－β)＝.题型3给值求角例3已知α、β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．解： tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<. tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1. tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.已知θ是第三象限角，|cosθ|＝m，且sin＋cos>0，求cos.解： θ为第三象限角，|cosθ|＝m，∴为第二或四象限角，cosθ＝－m. sin＋cos>0，∴为第二象限角，∴cos＝－＝－.题型4二倍角公式的应用例4(2013·盐城二模)已知函数f(x)＝4sinxcos(x＋)＋.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．解：(1)f(x)＝4sinx(cosxcos－sinxsin)＋＝2sinxcosx－2sin2x＋＝sin2x＋cos2x＝2sin.所以T＝＝π.(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1，当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.已知函数f(x)＝－2sin2x＋2sinxcosx＋1.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若x∈，求f(x)的最大值和最小值．[审题视点]逆用二倍角公式，化为正弦型函数再求解．解：(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.令sin＝0，则x＝－(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为(k∈Z)．(2)因为x∈，所以－≤2x＋≤.所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x＝－时，f(x)的最小值为－1；当x＝时，f(x)的最大值为2.1.(2013·四川)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α＝________．答案：解析：由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα.又α∈，故sinα≠0，于是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.2.已知向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(3，－4)，若a∥b，则tan2θ＝__________．答案：－解析： a∥b，∴－4sinθ－3cosθ＝0，∴tanθ＝－，从而tan2θ＝＝＝－.3.设α为锐角，若cos＝，则sin(2α＋)＝__________．答案：解析：设α＋＝θ，cosθ＝，sinθ＝，sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝...