高考数学总复习第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理和余弦定理VIP免费

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理第四章(对应学生用书(文)、(理)53～54页)考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式．掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.1.(必修5P10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝________．答案：2解析：在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝2.2.(必修5P24复习题第1(2)题改编)在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A＝________．答案：60°解析：由余弦定理，得cosA＝＝＝， 0＜A＜π，∴A＝60°.3.(必修5P17习题1.2第6题改编)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得a＝2b·，整理得b2＝c2，故此三角形一定是等腰三角形．4.(必修5P17习题6改编)已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2－c2＝ab，则∠C＝________．答案：60°解析：cosC＝＝＝. 0°＜C＜180°，∴∠C＝60°.5.(必修5P11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．答案：4解析： cosC＝，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4.1.正弦定理：＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．2.余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝，cosB＝，cosC＝.3.三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)△ABC的面积公式①S＝a·h(h表示a边上的高)；②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝；③S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；④S＝，其中P＝(a＋b＋c)．[备课札记]题型1正弦定理解三角形例1在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.解：由正弦定理，得＝，即＝，∴sinA＝. a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.在△ABC中，(1)若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________．(2)若b＝3，c＝，C＝45°，则a＝________．(3)若AB＝，BC＝，C＝30°，则∠A＝________．答案：(1)2(2)无解(3)45°或135°解析：(1)已知两角和一边只有一解，由∠B＝30°，∠C＝105°，得∠A＝45°.由正弦定理，得b＝＝＝2.(2)由正弦定理得sinB＝＝>1，∴无解．(3)由正弦定理＝，得＝，∴sinA＝. BC>AB，∴A>C，∴∠A＝45°或135°.题型2余弦定理解三角形例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由余弦定理知：cosB＝，cosC＝.将上式代入＝－，得·＝－，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝＝－＝－. B为三角形的内角，∴B＝π.(2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac，∴ac＝3.∴S△ABC＝acsinB＝.(2014·南京期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a、b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，所以sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝，所以B＝，所以a＝，b＝.当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.所以△ABC的面积S＝absinC＝.题型3三角形形状的判定例3在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角∠A、∠B、∠C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．解：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC为等腰或直角三角形．已知△ABC中，＝，试判断△ABC的形状．解：由已知，得＝＝＝，∴＝.由正弦定理知＝，∴＝.∴sinCcosC＝sinBcos...