山东省德州市乐陵一中高中数学 3.4.1基本不等式（第1学时）学案 新人教A版必修5

3．4．1 基本不等式（第 1 课时）32**学习目标**1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义 , 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.**要点精讲**1．基本不等式： ()，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当 a=b 时等号成立．注：上述不等式对 a≥0,b≥０时仍成立。2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a≥0,b≥03．基本不等式的变形公式：（1）（）；（2）；（3）；（4）；（5）。4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n), 则(n>1,nN)；**范例分析**例 1．（1）如图,已知在正方形 ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为 a、b,则正方形 ABCD 的面积为 S1=________,4 个直角三角形面积的和为S2=________,则 S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含 a、b 的式子表示),并且当 a______b 时,直角三角形变为________时,S1=S2.（2）已知，求证： ，你能解释（）的几何意义吗？例 2. 利用基本不等式证明下列不等式：1(1) 已知 a>0,求证 a+；(2) 已知 a>3,求证 a+；例 3. (1). 已 知 x , y , z 是 互 不 相 等 的 正 数 , 且 x+y+z=1 , 求 证 : ( (2). 已知，求证：。例 4．（1）已知为任意实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca；（2）已知 a+b+c=1, 求证 a2+b2+c2≥。４．已知 a , b , c 不全相等的三个正数, 且 abc=1 , 求证: 注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．规律总结1．均值不等式（不等式链）：若，则。其中，分别称为正数的调和平均数（H）、几何平均数（G）、算术平均数（A）、平方平均数（P），即有。基本功能有：（1），将平方和与两数和互化；（2），将和与积互化；（3），将和与倒数和互化；（4）重要变形：，其中为正数。2．学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变2成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．3．均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；用均值不等式证明时，为达到目标可先宏观，后微观；均值不等式和不等式的基本性质的联合运用是证明不等式行之有效的方法。**基础训练**一、选择题1．下面推导“”中所犯的错误是（ ）没有...