4.1.1 圆的标准方程学案一．学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 圆的标准方程：方程表示圆心为 A（a，b），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于 a、b、r 的方程组，然后解出 a、b、r，再代入标准方程.四．自主探究：（一）例题精讲：【例 1】（01 年全国卷.文）过点、且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是（ ）.A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4C.（x－1）2＋（y－1）2＝4 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4解：由圆心在直线 x＋y－2＝0 上可以得到 A、C 满足 条件, 再把 A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不满足条件. 所以，选 C.另解：设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r, 因为圆心 C 在直线 x+y－2=0 上, ∴b=2－a.由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得 a=1，b=1.因此，所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4. 选 C.【例 2】求下列各圆的方程：（1）过点，圆心在；（2）圆心在直线上的圆 C 与 y 轴交于两点解：（1）设所求圆的方程为. 则 ， 解得. ∴ 圆的方程为.（2）圆心在线段 AB 的垂直平分线上，代入直线得，圆心为，半径.∴ 圆 C 的方程为.【例 3】推导以点为圆心，为半径的圆的方程.解：设圆上任意一点，则.由两点间的距离公式，得到.化简即得圆的标准方程：点评：这里的推导方法， 实质就是求曲线方程的通法，其基本步骤是：建系设点（建立合适的坐标系，设所求曲线上的动点）→写条件（写出动点 M 所满足的条件）→列式（用坐标来表示所写出的条件，列出方程）→化为最简→特殊说明.【例 4】一个圆经过点与，圆心在直线上，求此圆的方程.解：设圆心，则， 解得.圆的半径.∴ 圆的标准方程为.另解：线段 AB 的中点，即. 直线 AB 的斜率.所以弦 AB 的垂直平分线的方程为，即.解方程组，得， 即圆心.圆的半径.∴ 圆的标准方程为.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心 坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.五．目标检测（一）基础达标1．圆的圆心和半径分别是（ ）.A．，1 B．，3 C．， D...
