4.1.2 圆的一般方程学案一．学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探 索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 圆的一般方程：方程 （）表示圆心是，半径长为的圆. 2. 轨迹方程是指点动点 M 的坐标满足的关系式.四．自主探究：（一）例题精讲：【例 1】求过三点 A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 则， 解得. ∴ 圆的方程为.【例 2】设方程，若该方程表示一个圆，求 m 的取值范围及圆心的轨迹方程. 解：配方得，该方程表示圆，则有， 得， 此 时 圆 心 的 轨 迹 方 程 为， 消 去 m ， 得，由得 x=m+3. ∴所 求 的 轨 迹 方 程 是，【例 3】已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆上运动，求线段 AB 的中点轨迹方程. （教材 P133 例 5 另解）解：设圆的圆心为 P(-1,0)，半径长为 2，线段 AB 中点为 M(x, y). 取 PB 中点 N,其坐标为(,)，即 N(,).NM(x,y)AyxPB(4,3) M、N 为 AB、PB 的中点,∴ MN∥PA 且 MN=PA=1. ∴ 动点 M 的轨迹为以 N 为圆心，半径长为 1 的圆.所求轨迹方程为：.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接 PB，取 PB 的中点 N，得到 MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件 ，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例 4】求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为 4 的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 当时，，则； 当时，，则.则， 解得. ∴ 圆的方程为.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.五．目标检测（一）基础达标1．方程表示圆的条件是（ ）. A. B. C. D. 2．M（3，0）是圆内一点，过 M 点最长的弦所在的直线方程是（ ）. A. B. C. D. 3．（04 年重庆卷.文理 3）圆的圆心到直线的距离为（ ）. A . 2 B. C. 1 D. 4．（1999 全国文）曲线 x2+y2+2x－2y=0 关于 （ ）. A. 直线 x=轴对称 B. 直线 y=－x 轴对称 C. 点（－...
