高考数学总复习第五章 数列第3课时 等 比 数 列VIP免费

第五章数列第3课时等比数列第六章(对应学生用书(文)、(理)74～75页)考情分析考点新知理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能用有关知识解决相应的问题．①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.③了解等比数列与指数函数的关系.1.(必修5P55习题2(1)改编)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，a6＝32，则S3＝________．答案：7解析：q5＝＝32，q＝2，S3＝＝7.2.(必修5P49习题1改编){an}为等比数列，a2＝6，a5＝162，则{an}的通项公式an＝________．答案：an＝2×3n－1解析：由a2＝6，a5＝162，得所以a1＝2，q＝3.3.(必修5P49习题6改编)等比数列{an}中，a1>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝________．答案：6解析：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝(a3＋a5)2＝36，又a1>0，∴a3，a5>0，∴a3＋a5＝6.4.(必修5P49习题7(2)改编)已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝________．答案：3解析：由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.5.(必修5P51例2改编)等比数列{an}中，S3＝7，S6＝63，则an＝________．答案：2n－1解析：由已知得a1＝1，q＝2；∴an＝2n－1.1.等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．(2)符号语言：_＝q(n∈N，q是等比数列的公比)．2.等比数列的通项公式设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则第n项an＝a1qn－1．推广：an＝amq(n－m)．3.等比中项若a，G，b成等比数列，则G为a和b的等比中项且G＝±．4.等比数列的前n项和公式(1)当q＝1时，Sn＝na1．(2)当q≠1时，Sn＝＝．5.等比数列的性质(1)an＝amqn－m．(2)等比数列{an}中，对任意的m、n、p、q∈N*，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq．特殊的，若m＋n＝2p，则aman＝a．(3)等比数列{an}中依次每m项的和仍成等比数列，即Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、…仍成等比数列，其公比为qm(q≠－1)．[备课札记]题型1等比数列的基本运算例1等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解：(1) S1，S3，S2成等差数列，∴2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a2＋a3)＝a1＋a1＋a2，∴2a3＝－a2，∴q＝＝－.(2)a3＝a1q2＝a1，∴a1－a1＝3，∴a1＝4，∴Sn＝＝－.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且2an＋1＝Sn＋2(n∈N)．(1)求a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；(2)解不等式>Sn(n∈N)．解：(1) 2a2＝S1＋2＝a1＋2＝3，∴a2＝. 2a3＝S2＋2＝a1＋a2＋2＝，∴a3＝. 2an＋1＝Sn＋2，∴2an＝Sn－1＋2(n≥2)，两式相减，得2an＋1－2an＝Sn－Sn－1.∴2an＋1－2an＝an.则an＋1＝an(n≥2)． a2＝a1，∴an＋1＝an(n∈N)． a1＝1≠0，∴＝，即{an}为等比数列，an＝n－1.(2)＝3×n－1，∴数列是首项为3，公比为的等比数列．数列的前5项为：3，2，，，.{an}的前5项为：1，，，，.∴n＝1，2，3时，>Sn成立；而n＝4时，≤Sn； n≥5时，＜1，an＞1，∴≤Sn.∴不等式>Sn(n∈N)的解集为{1，2，3}．题型2等比数列的判定与证明例2已知数列{an}的前n项和为Sn，3Sn＝an－1(n∈N)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列；(3)求an和Sn.(1)解：由3S1＝a1－1，得3a1＝a1－1，∴a1＝－.又3S2＝a2－1，即3a1＋3a2＝a2－1，得a2＝.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．(3)解：由(2)可得an＝n，Sn＝＝－.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)求证：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.(3)证明：对任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．题型3等比数列的性质例3已知等比数列{an}中，a2＝32，a8＝，an＋1