影子与季节、纬度的关系《普通高中数学课程标准(实验)》要求“高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强”，“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断”。阳光在一年四季中的变化规律是与我们生活息息相关的问题，新课标人教 A 版教材必修Ⅳ中分别在阅读与思考、例题、习题中设置了与阳光有关的问题与情境，“力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。”在选修 4-4 中介绍了球坐标系后，笔者引导学生观察、探究如下自然现象：如图 1，东西走向且较长的建筑物高度为|AE|，它在水平地面上的影子长为|AF|，现有一种喜阳的落叶树苗栽种在建筑物的北面，那么它距离建筑物多远合适？这需要求建筑物的影子宽度|AG|，也就是建筑物的顶端 E 在水平地面上的影子 F 到墙脚线的距离|AG|与时间的变化规律。下面是结合中学地理知识、运用空间向量及坐标系探究阳光下物体的影子随季节、纬度的变化规律并解释一些地理现象，供同仁们在指导学生开展这方面研究性学习时参考。1 影子与季节、纬度的关系在不考虑太阳光线在穿过大气层时的折射、太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素的影响下，照射到地球上的太阳光可以看成是平行光线。地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。先给出两个定义：定义 1：如图 2，设在阳光下，地球上 A 地竖直物体 AE 在水平地面上的影子为 AF，设向量 AK 是与过 A 点的经线相切且方向向北的单位向量（如图 3），AK 也是 A 地水平地面内方向向北的向量（如图 2）。我们把 AE 的影子向量 AF 在向量 AK 上的正射影 AG（也是向量 EF 在向量 AK 上的正射影）叫做物体 AE 的遮阴；把 d =AG=AF·AK =EF·AK 叫做物体AE 的遮阴距，显然有:当影子在物体的北面时 d>0，当影子在物体的南面时 d<0。定义 2：物体的遮阴距 d 与物体高度 h 的比叫作物体的遮阴率。即。对于东西走向且长度较大的物体，南北方向的遮阴情况可通过遮阴距或遮阴率反映1出来。如图 3，设地球 O 的球面上过 A 地的经线与赤道交于 D 点，设某日某时太阳直射地球上 B 地 ， 过 B 的 经 线 与 赤 道 交 于 C 点 。 设 地 球 半 径 为 R ；∠AOD=α，∠BOC=β，∠DOC=θ，∠AOB=φ，则 α 为 A 地的纬度数，-90o <α<90o，若 A 地在...
