江苏省南师大附校2010高三数学一轮复习教学案：第5课时导数与定积分的综合应用（选讲）

第 5 课时 导数与定积分的综合应用（选讲）【基础过关】1．导数的几何意义及其应用函 数 y=f (x) 在 点 x0 导 数 的 几 何 意 义 ， 就 是 曲 线 y=f (x) 在 点 P(x0, f(x0)) 处 的 ，导数的四则运算法则对加法而言 ；对乘法而言 ；对除法而言 。2．导数与定积分的关系在求定积分时，要求出原函数，求原函数的过程可以看作是求导的 。【基础训练】1．已知函数在处的导数等于 3，则的解析式可能为（ ）A． B． C． D．2．若在区间内有且，则在区间内有（ ）A． B． C． D．不能确定3．设函数有极值，则极值点为 . 4．，则的值为 .【典型例题】例 1．过点作曲线（，，）的切线切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；……；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是．（1）求证：，；（2）求证：；（3）求证：（注：）． ［剖析］函数 y=f (x) 在点 x0导数的几何意义，就是曲线 y=f (x) 在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线 y=f (x) 在 P (x0, f (x0))处的切线的斜率是 f′(x0)，于是相应的切线方程为 y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数.［解］（１）为了求切线的斜率，只要对求导数，得．若切点是，则切线方程是．当时，切线过点，即，得； 当时，切线过点，即，得．所以数列是首项为，公比为的等比数列，，．（２）应用二项式定理，得 ． （３）记，则，两式错位相减，得 ，故 ． ［警示］求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点。例 2．（2006 年辽宁卷）已知函数 f(x)=,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等 差 数 列 ， 且 a ＞ 0,d ＞ 0. 设［ 1-］ 上 ，，在，将点A， B， C (I)求(II)若⊿ABC 有一边平行于 x 轴，且面积为，求 a ,d 的值［剖析］对于第（1）小题，利用待定系数法进行求解，但需注意导数的应用；对于第（2）小题，应充分利用“面积为”这一条件。［解］(I)解: ,令,得,当时, ;当时, 所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值即(II) 解法一：，的图像的开口向上,对称轴方程为. 由知,在上 的 最 大...