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江苏省南师大附校2010高三数学一轮复习教学案:第5课时导数与定积分的综合应用(选讲)

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第 5 课时 导数与定积分的综合应用(选讲)【基础过关】1.导数的几何意义及其应用函 数 y=f (x) 在 点 x0 导 数 的 几 何 意 义 , 就 是 曲 线 y=f (x) 在 点 P(x0, f(x0)) 处 的 ,导数的四则运算法则对加法而言 ;对乘法而言 ;对除法而言 。2.导数与定积分的关系在求定积分时,要求出原函数,求原函数的过程可以看作是求导的 。【基础训练】1.已知函数在处的导数等于 3,则的解析式可能为( )A. B. C. D.2.若在区间内有且,则在区间内有( )A. B. C. D.不能确定3.设函数有极值,则极值点为 . 4.,则的值为 .【典型例题】例 1.过点作曲线(,,)的切线切点为,设点在轴上的投影是点;又过点作曲线的切线切点为,设点在轴上的投影是点;……;依此下去,得到一系列点,设点的横坐标是.(1)求证:,;(2)求证:;(3)求证:(注:). [剖析]函数 y=f (x) 在点 x0导数的几何意义,就是曲线 y=f (x) 在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率,也就是说,曲线 y=f (x) 在 P (x0, f (x0))处的切线的斜率是 f′(x0),于是相应的切线方程为 y-y0=f′(x0) (x-x0),巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数.[解](1)为了求切线的斜率,只要对求导数,得.若切点是,则切线方程是.当时,切线过点,即,得; 当时,切线过点,即,得.所以数列是首项为,公比为的等比数列,,.(2)应用二项式定理,得 . (3)记,则,两式错位相减,得 ,故 . [警示]求切线方程关键在于切点,因为切点不仅是直线上的一个点,而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点。例 2.(2006 年辽宁卷)已知函数 f(x)=,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等 差 数 列 , 且 a > 0,d > 0. 设[ 1-] 上 ,,在,将点A, B, C (I)求(II)若⊿ABC 有一边平行于 x 轴,且面积为,求 a ,d 的值[剖析]对于第(1)小题,利用待定系数法进行求解,但需注意导数的应用;对于第(2)小题,应充分利用“面积为”这一条件。[解](I)解: ,令,得,当时, ;当时, 所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值即(II) 解法一:,的图像的开口向上,对称轴方程为. 由知,在上 的 最 大...

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