江苏省江阴高级中学高中数学教案：06-不等式 (1)

第十二教时教材：不等式证明综合练习目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。过程：一、 简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、 例一、已知 0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小。解一： ∵0 < 1  x2 < 1, ∴ ∴解二： ∵0 < 1  x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ ∴ ∴解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1  x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴ ∴左  右 = ∵0 < 1  x2 < 1, 且 0 < a < 1 ∴ ∴ 变题：若将 a 的取值范围改为 a > 0 且 a  1，其余条件不变。例二、已知 x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y 都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd 只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy≥ac + bd证二：（综合法）xy = ≥证三：（三角代换法） ∵x2 = a2 + b2，∴不妨设 a = xsin, b = xcosy2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos ∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos(  )≤xy例三、已知 x1, x2均为正数，求证：证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证： 即： 再平方： 化简整理得： （显然成立） ∴原式成立证二：（反证法）假设 化简可得： （不可能）用心 爱心 专心 A B C D P M ∴原式成立证三：（构造法）构造矩形 ABCD，使 AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2 当APB = DPC 时，AP + PD 为最短。 取 BC 中点 M，有AMB = DMC, BM = MC = ∴ AP + PD ≥ AM + MD 即： ∴三、 作业： 2000 版 高二课课练 第 6 课用心 爱心 专心