规范答题示例 4 解析几何的综合问题典例 4 (16 分)已知定点 C(－1,0)及椭圆 x2＋3y2＝5，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B两点．(1)若线段 AB 中点的横坐标是－，求直线 AB 的方程；(2)在 x 轴上是否存在点 M，使MA·MB为常数
若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)→→(2)→→→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板解 (1)依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)，将 y＝k(x＋1)代入 x2＋3y2＝5，消去 y 整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0
3 分设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1,2＝，则由线段 AB 中点的横坐标是－，得＝－＝－，解得 k＝±，适合①
所以直线 AB 的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y＋1＝0
7 分(2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0)，使MA·MB为常数．(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由(1)知 x1＋x2＝－，x1x2＝
③所以MA·MB＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2
9 分将③代入，整理得MA·MB＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－
11 分注意到MA·MB是与 k 无关的常数，从而有 6m＋14＝0，解得 m＝－，此时MA·MB＝
12 分(ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时，点 A，B 的坐标分别为，，当 m＝－时，也有MA·MB＝
14 分综上，在 x 轴上存在定点 M，使MA·MB为常数
16 分第一步先假定：假设结论成立
第二步再推理：以假设成立的结论为条件，进行推理求解
第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设
