听课随笔第 4 课时 余弦定理（1）知识网络 三角形中的向量关系→余弦定理学习要求 1． 掌握余弦定理及其证明；2． 体会向量的工具性；3． 能初步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)，，.(2) 变形：，， 2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【精典范例】【例 1】在中，（1）已知，，，求；（2）已知，，，求（精确到）．【解】（1）由余弦定理，得，所以 ．（2）由余弦定理，得，所以，．点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例 2】两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离（精确到）．【 解 】 由 余 弦定理，得所以，用心 爱心 专心1答 两地之间的距离约为．【例 3】用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．【证】当为锐角时，，由余弦定理，得，即 ．同理可证，当为钝角时，点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．追踪训练一１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，求 a；（２）已知 a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．略解：（1）a略解：（2）２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（ Ｂ ） Ａ．能组成直角三角形Ｂ．能组成锐角三角形Ｃ．能组成钝角三角形 Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知，试求∠Ｃ的大小．略解：４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？略解：两艇相距 4.71km用心 爱心 专心2听课随笔听课随笔【选修延伸】【 例 4 】 在 △ ABC 中 ，= ，= ， 且，是 方 程的 两 根 ，。（1）求角 C 的度数；（2）求的长；（3）求△ABC 的面积。解：(1) （2）因为 ， 是方程的两根，所以 （3）【例 5】在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 ， ， ，证明：。证明：由余弦定理知：，则，整理得: ，又由正弦定理得:， ， 追踪训练二1．在△ABC 中，已知，，B=，则 （ B ）A 2 B C D 2．在△ABC 中，已知 AB=5，AC=6，BC=，则 A= （ A ）A B C D 用心 爱心 专心33．在△ABC 中，若，，C=，则此三角形有 一 解。提示：由余弦定理得：负值不合题意，舍去。4、 △ABC 中，若，则 A= 。【师生互动】学生质疑教师释疑用心 爱心 专心4
