听课随笔第 6 课时 余弦定理（3）【学习导航】 知识网络 学习要求 1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)，，.(2) 变形：，， 2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例 1】在ABC 中，求证：（1）（2）分析：【解】（1）根据正弦定理，可设 = = = k显然 k 0，所以 左边= ==右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab) =(b +c - a )+(c +a -b )+(a+b -c )=a +b +c =左边【例 2】在中，已知 acosA = bcosB 用两种方法判断该三角形的形状.分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。【解】方法 1o（余弦定理）得用心 爱心 专心1听课随笔a=bc=是等腰三角形或直角三角形.方法 2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,或 2A+2B=180A=B 或 A+B=90 是等腰三角形或直角三角形.点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。【例 3】在四边形 ABCD 中，ADB=BCD=75 ，ACB=BDC=45 ，DC=，求：（1）AB的长（2）四边形 ABCD 的面积【解】（1）因为BCD=75 ，ACB=45 ，所以ACD=30 ，又因为BDC=45 ，所以DAC=180 -（75 + 45 + 30 ）=30 ， 所以， AD=DC=在BCD 中，CBD=180 -（75 + 45 ）=60 ，所以= ，BD = = 在ABD 中，AB =AD + BD -2 AD BD cos75 = 5,所以， AB=（3）S=AD BD sin75=同理， S= 所以四边形 ABCD 的面积 S=追踪训练一1. 在△ABC 中，，，则下列各式中正确的是（ D ）A. B. C. D. 用心 爱心 专心2听课随笔2. 在△ABC 中，若,则△ABC 的形状是____直角三角形_____3. 如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？答案：S=8【选修延伸】【例 4】如图：在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=750，∠C=，AB=3，AD=4，求对角线 AC 的长。分析：此题涉及两个三角形，AC 是公共边。【解】设∠DCA= ，AC=，则追踪训练二1．在△ABC 中，若 c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C 等于( D )A．90° B．120° C．60° D．120°或 60°2．在锐角中，若，则边长的取值范围是3．已知在ABC 中，B=30 ,b=6,c=6,求 a 及ABC 的面积 S.答案：a=6,S=9;a=12,S=18用心 爱心 专心3【师生互动】学生质疑教师释疑用心 爱心 专心4
