听课随笔第 6 课时 余弦定理（3）【学习导航】 知识网络 学习要求 1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)，，
(2) 变形：，， 2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路
【精典范例】【例 1】在ABC 中，求证：（1）（2）分析：【解】（1）根据正弦定理，可设 = = = k显然 k 0，所以 左边= ==右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab) =(b +c - a )+(c +a -b )+(a+b -c )=a +b +c =左边【例 2】在中，已知 acosA = bcosB 用两种方法判断该三角形的形状
分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
【解】方法 1o（余弦定理）得用心 爱心 专心1听课随笔a=bc=是等腰三角形或直角三角形
方法 2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,或 2A+2B=180A=B 或 A+B=90 是等腰三角形或直角三角形
点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路
【例 3】在四边形 ABCD 中，ADB=BCD=75 ，ACB=BDC=45 ，DC=，求：（1）AB的长（2）四边形 ABCD 的面积【解】（1）因为BCD=75 ，ACB=45 ，所以ACD=30 ，又因为BDC=45 ，所以DAC=180 -（75 + 45 + 30 ）=30 ， 所以， AD=DC=在BCD 中，CBD=180 -（75 + 45 ）=60 ，所以= ，BD = = 在ABD 中，AB =AD + BD -2 AD BD cos75 = 5,所以， AB=（3）S=AD BD sin75=同
