听课随笔第 11 课时等比数列的概念和通项公式 【学习导航】知识网络 学习要求 1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.【自学评价】1. 等比数列的性质：（1）（）；(2）对于 k、l、m、n∈N*，若，则 akal=aman.；（3）每隔项（）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。2. (1) 若{an}为等比数列，公比为 q，则{a2n}也是等比数列，公比为 q 2 .(2) 若{an}为等比数列，公比为 q(q≠－1),则{a2n－1+a2n}也是等比数列，公比为 q 2 .(3) 若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列.(4) 三个数 a、b、c 成等比数列的，则 【精典范例】【例 1】已知四个数前 3 个成等差，后三个成等比，中间两数之积为 16，前后两数之积为－128，求这四个数. 【解】 设所求四个数为－aq，，aq，aq3由①得 a2＝16 ∴a＝4 或 a＝－4 由②得2a2q2－a2q4＝－128将 a2＝16 代入整理得q4－2q2－8＝0 解得 q2＝4 ∴q＝2 或 q＝－2因此所求的四个数为－4，2，8，32 或 4，－2，－8，－32.【点评】 根据四个数前 3 个成等差，后三个成等比，列方程可利用 a、q 表示四个数，根据中间两数之积为 16，将中间两个数设为，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便.【例 2】若 a、b、c 成等比数列，用心 爱心 专心1①②则由已知试证：a2＋b2，ac＋bc，b2＋c2也成等比数列.【证明】 由 a、b、c 成等比数列，则 a·b·c≠0 且 b2＝ac(a2＋b2)(b2＋c2)＝(a2＋ac)(ac＋c2)＝ac(a＋c)2＝b2(a＋c)2＝(ab＋bc)2显然 a2＋b2、b2＋c2都不等零，且 ab＋bc≠0∴a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列.【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数 a，b，c 成等比，可证明b2＝ac，要注意说明 a、b、c 全不为零.追踪训练一1．在等比数列{an}中，a1=,q=2,则 a4与 a8的等比中项是( B )A.±4 B.4 C.± D. 2．在等比数列{an}中，已知 a5=－2,则这个数列的前 9 项的乘积等于( B )A.512 B.－512 C.256 D.－2563．2，x,y,z,162 是成等比数列的五个正整数，则 z 的值等于( A )A.54 B.27 C.9 D.34．已知｛an｝是等比数列，且 an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25...
