专项强化训练(四)立体几何的综合问题1.如图,在边长为1的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.(1)证明:DE∥平面BCF.(2)证明:CF⊥平面ABF.(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.【解析】(1)在等边△ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DEBC.∥因为DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,所以DE∥平面BCF.(2)在等边△ABC中,F是BC的中点,所以AFFC,BF=CF=⊥.因为在三棱锥A-BCF中,BC=,所以BC2=BF2+CF2,CFBF.⊥因为BF∩AF=F,所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GECF,∥结合(2)可得GE⊥平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=··DG·FG·GE=××××=.【加固训练】(2015·佛山模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90°,CDAB,AD=CD=∠∥AB=2,点E为AC中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(1)求证:ADBC.⊥(2)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB.【解析】(1)在题图1中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,所以ACBC.⊥因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面ADC.又AD⊂平面ADC,所以ADBC.⊥(2)取CD的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,因为E,F分别为AC,DC的中点,所以ADEF,EF∥⊂平面EFB,AD⊄平面EFB,所以AD∥平面EFB.2.(2015·南阳模拟)如图所示,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD,AE⊥平面CDE.(1)求证:AB⊥平面ADE.(2)在线段BE上存在点M,使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为,试确定点M的位置.【解析】(1)因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AECD.⊥在正方形ABCD中,CDAD,⊥因为AD∩AE=A,所以CD⊥平面ADE.因为ABCD,∥所以AB⊥平面ADE.(2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD,取AD中点O,连接EO,因为EA=ED,所以EOAD,⊥所以EO⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1),设M(x,y,z),所以=(x-1,y-2,z),=(-1,-2,1),因为B,M,E三点共线,所以=λ,所以M(1-λ,2-2λ,λ),所以=(-λ,2-2λ,λ).设AM与平面AED所成的角为θ,因为平面AED的法向量n=(0,1,0),所以sinθ=|cos<,n>|==,解得λ=.即M为BE的中点.【方法技巧】求直线与平面所成角的方法及注意点1.方法:有传统法和向量法两种.传统法关键是找斜线在平面内的射影,从而找出线面角;向量法则可建立坐标系,利用向量的运算求解.2.注意点:注意直线与平面所成角的范围为.3.(2015·济南模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,DAB∠为直角,ABCD,AD=CD=2AB,E,F∥分别为PC,CD的中点.(1)求证:CD⊥平面BEF.(2)设PA=kAB(k>0),且二面角E-BD-C的大小为30°,求此时k的值.【解题提示】以A为坐标原点建立空间直角坐标系,(1)求出,,,证明·=0,·=0.(2)求出两个平面的法向量,利用向量的夹角公式构建方程求解.【解析】以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0,0,0),P(0,0,k),B(1,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),E,F(1,2,0).(1)因为=,=(0,2,0),=(-2,0,0),所以·=0,·=0,所以CDBE,CDBF,BE∩BF=B,⊥⊥所以CD⊥平面BEF.(2)设平面BCD的一个法向量为n1,则n1=(0,0,1),设平面BDE的一个法向量为n2=(x,y,z),因为=(-1,2,0),=,所以所以n2=.因为二面角E-BD-C等于30°,所以|cos|==,所以=3,即15k2=4,又因为k>0,所以k=.4.(2015·惠州模拟)如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求O点到平面ABC的距离.(2)求二面角E-AB-C的正弦值.【解析】方法一:(1)取BC的中点D,连AD,OD,因为OB=OC,则ODBC,ADBC,⊥⊥所以BC⊥平面OAD.过O点作OHAD⊥于H,则OH⊥平面ABC,OH的长就是所要求的距离.BC=2,OD==.因为OAOB,OAOC,⊥⊥所以OA⊥平面OBC,则OAOD.⊥AD==,在直角三角形OAD中,有OH===.另解:由V=SABC·OH=△OA·OB·OC=知,OH=.(2)连接CH并延长交AB于F,连接OF,EF.因为OC⊥面OAB,所以OCAB.⊥又因为OH⊥平面ABC,所以CFAB,EFAB,⊥⊥则∠EFC就是所求二面角的平面角.作EGCF⊥于G,则EG=OH=.在直角三角形OAB中,OF==,在直角三角形OEF中,EF===,sinEFG=∠==,故所求的正弦值是.方法二:(1)以O为原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).设平...
