等差、等比数列的前 n 项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；3．掌握数列的通项 an与前 n 项和 Sn之间的关系式。【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前项和的相关公式1.等差数列的前项和公式：（为常数）当时，Sn是关于 n 的二次式且常数项为 0；当 d=0 时（a1≠0），Sn=na1是关于 n 的正比例式.2.等比数列的前项和公式：当时，，，当时，3.任意数列的第项与前项和之间的关系式：【典型例题】等差、等比数列的前n项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式类型一：等差数列的前 n 项和公式及其性质例 1.等差数列的前 30 项之和为 50，前 50 项之和为 30，求。【 思 路 分 析 】 根 据 等 差 数 列 前 n 项 公 式， 整 体 代 入 ， 或 者 应 用 公 式。【解析】法一: 为等差数列， ∴, ∴ (2)-(1)有， 即 ∴ 。法二: 为等差数列， ∴, ∴ 即 ∴ (2)-(1)有： 即, ∴, ∴。法三: 为等差数列， ∴，, ,,…, 也为等差数列， ∴ , ∴ , ∴ .【总结升华】法一、二均可用方程思想求出 A、B、、d 来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。举一反三：【变式】设等差数列的前项和为，若，，则（ ）A．63B．45C．36D．27 【解析】法一：依据已知有：即解得，所以。法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列、、成等差数列，所以，有，故选 B 例 2.已知两等差数列、的前 n 项和分别为、，且，试求。【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前 n 项和的比值的问题。【解析】法一： ， ∴ 。法二：由题设，令, ， ∴,又 ， ∴， ∴.【总结升华】由于等差数列中，所以已知等差数列、的前 n 项和分别为和，则(1) ，(2) 。举一反三：【变式 1】等差数列中，若, 则_________.【解析】由，得.【变式 2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .【解析】.类型二：等差数列求和公式的应用【高清课堂：等差数列 382420 典型例题三】例 3．设为数列的前 n 项和，且.求证：数列为等差数列．【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。证明：由得，所以整理得，又得相减并整理得: 所以数列是个等差数列举一反...
