两角差的余弦公式(基础)【学习目标】1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础.3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。【要点梳理】要点一：两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式的推导：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则由向量数量积的概念，有，结合向量数量积的坐标表示，有所以= （*）（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。为此，我们讨论如下：由 于是 任 意 角 ， 由 诱 导 公 式 ， 总 可 以 找 到 一 个 角， 使。① 若，则。②若，则，且由以上的讨论可知，对于任意的，都有：= 2．公式的记忆右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。要点诠释：(1)公式中的都是任意角。(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1．逆用 =要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题 .如：由能迅速地想到。2．角变换后使用。3．移项运用4．特殊化使用5．以代即【典型例题】类型一：利用差角的余弦公式进行证明例 1．求证：（1）（2）【 思 路 点 拨 】 （ 1 ） 用代， 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 展 开 。 （ 2 ） 利 用及两角和的余弦公式可证得。【证明】（1）= = （2） = = = =举一反三：【变式 1】证明： = = = = =类型二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式例 2．化简：【答案】 0 【解析】原式。【总结升华】化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。对于三角函数式的化简，要求：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数的种类最少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母中不含有三角函数；（5）尽量使被开方数不含有三角函数。对于本题我们看到，化简前与化简后相比，化简后显然简洁得多，而且关系也清晰得多。举一反三：【变式 1】化简：。【答案】【解析】原式= = = = =类型三：利用差角的余弦公式...
