福建省长泰一中高考数学一轮复习《三角函数的化简和求值》学案例 1. （1）化简： （2）化简：解：∵ ＝ ∴原式=变式训练 1：已知，若，则 可化简为 ．解：例 2. 已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．典型例题基础过关解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝03sinα＋2cosα＝0 或 2sinα－cosα＝０由已知条件可知 cosα≠0 ∴α≠即α∈(,π)变式训练 2：在△ABC 中，，，，求A 的值和△ABC 的面积．解：∵sinA＋cosA＝ ①∵2sinAcosA＝－从而 cosA＜0 A∈()∴sinA－cosA＝＝ ②据①②可得 sinA＝ cosA＝∴tanA＝－2－S△ABC＝例 3. 已知 tan(α－β)＝，β＝-，且 α、β∈（0，），求 2α－β 的值.解：由 tanβ＝－ β∈(0，π)得 β∈(, π) ①由 tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ α∈(0，π)得 0＜α＜ ∴ 0＜2α＜π由 tan2α＝＞0 ∴知 0＜2α＜ ②∵tan(2α－β)＝＝1由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－(或利用 2α－β＝2(α－β)＋β 求解)变式训练 3：已知 α 为第二象限角，且 sinα＝，求的值．解：由 sinα＝ α 为第二象限角∴cosα＝－∴＝＝－例 4．已知．（1）求 tanα 的值；（2）求的值．解：（1）由得 解得 tanα＝－3 或又，所以为所求．（2）原式：变式训练 4：已知（<α<），试用 k 表示 sin－cos的值．解：∵∴k＝2sinαcosα∵(sinα－cosα)2＝1－k又∵α∈() ∴sinα－cosα＝1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式：① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．小结归纳
