第二节 不等式的证明[考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．(对应学生用书第 166 页) [基础知识填充]1．不等式证明的方法(1)比较法： ① 求差比较法： 知道 a>b⇔a－b>0，ab，只要证明 a － b ＞ 0 即可，这种方法称为求差比较法．② 求商比较法：由 a>b>0⇔>1 且 a>0，b>0，因此当 a>0，b>0 时，要证明 a>b，只要证明＞1 即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．(4)几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的解法称为几何法．(5)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：① 柯西不等式的代数形式：对任意实数 a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 (当向量(a，d)与向量(c，d)共线时．等号成立)．② 柯西不等式的向量形式：设 α，β 是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．③ 一般形式的柯西不等式设 a1，a2，…，an 与 b1，b2，…，bn 是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．(2)算术—几何平均不等式若 a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件...
