专题 26 平面向量的数量积及平面向量的应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos__θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos__θ 的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝＝.(3)夹角：cos θ＝＝.(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)|⇔ x1x2＋y1y2|≤ ·.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b 均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝＝(θ 为 a 与 b 的夹角)．5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．高频考点一 平面向量数量积的运算例 1、(1)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点 M，N 满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM等...
