第 51 讲 双曲线考纲要求考情分析命题趋势1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景．3．理解数形结合的思想.2017·全国卷Ⅰ，152017·全国卷Ⅱ，92017·北京卷，92017·天津卷，52017·江苏卷，81.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；确定双曲线焦点的位置．2．求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率.分值：5 分1．双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合 P＝，＝2c，其中 a，c 为常数，且 a>0，c>0.(1)当__a ＜ c __时，点 P 的轨迹是双曲线；(2)当__a ＝ c __时，点 P 的轨迹是两条射线；(3)当__a ＞ c __时，点 P 不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Ry≤－a 或 y≥a，x∈R对称性对称轴：__坐标轴__，对称中心：__原点__顶点A1__( － a, 0) __，A2__( a, 0) __A1__(0 ，－ a ) __，A2__(0 ， a ) __渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝____，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝__a 2 ＋ b 2 __实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝__2 a __；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝__2 b __；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线－＝0(a＞0，b＞0)的距离为 b.如右图△OFH 是分别以边 a，b，c 为边长的直角三角形．(2)如下图：＋＝1(a＞b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)则有：P1，P2两点坐标都为，即＝＝.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面内到点 F1 (0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线．( × )(2)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．( × )(3)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( × )(4)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．(2)错误．因为＝8＝，表示的轨迹为两条射线．(3)错误．当 m＞0，n＞0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m＜0，n＜0 ...
