第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量| a || b |cos θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b投影|a |cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，| b |cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos θ 的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b · a ；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a ·( λ b ) (λ 为实数)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a · b ＋ a · c .4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝cos θ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋ y 1y2＝ 0 |a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(3)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.( )(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)已知|a|＝6，|b|＝3，向量 a 在 b 方向上的投影是 4，则 a·b 为( )A．12 B．8 C．－8 D．2A [ a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，＝|b||a|cos〈a，b〉＝3×4＝12.]3．已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则 m＝( )A．－8 B．－6 C．6 D．8D [ a＝(1，m...
