第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是[0° ， 180°] ，其中当 a 与 b 的夹角是 90°时，a 与 b 垂直，记作 a⊥b，当 a 与 b的夹角为 0°时，a∥b，且 a 与 b 同向，当 a 与 b 的夹角为 180°时，a∥b，且 a 与 b 反向．2．平面向量的数量积定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量| a||b |·cos θ 叫做 a与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为 0投影| a |cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影；| b |cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) ；(3)分配律：a·(b＋c)＝a · b ＋ a · c .4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝cos θ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋ y 1y2＝ 0 |a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·[常用结论]1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3．当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，向量AB与BC的夹角为∠B.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )(3)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和...
